解讀函數(shù)的“零點”

張敏

【內(nèi)容摘要】函數(shù)的圖像與橫軸的交點的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點.由此知，從“形”的角度來理解，函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖像與橫軸的交點的橫坐標(biāo);從“數(shù)”的角度來理解，函數(shù)f（x）的零點就是方程f（x）=0的解.

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 解讀

一、函數(shù)的零點個數(shù)

因為函數(shù)f（x）的圖像與x軸的交點個數(shù)，就是方程f（x）=0的解的個數(shù)，也就是函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，所以要確定函數(shù)f（x）的零點個數(shù)有如下兩個途徑：①結(jié)合函數(shù)f（x）的圖像與橫軸的交點個數(shù)確定結(jié)論;②借助方程f（x）=0的解的個數(shù)確定結(jié)論。

二、函數(shù)零點的存在性

若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f（a）·f（b）<0，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)函數(shù)y=f（x）至少有一個零點，即相應(yīng)的方程f（x）=0在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個實數(shù)解。

上述理論依據(jù)的內(nèi)涵與外延：

1.由該判定方法可以得到函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上存在零點，但不能判斷具體有多少個零點。

2.反之不一定成立，即若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，且函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但不一定滿足f（a）·f（b）<0。

3.若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，且f（a）·f（b）>0，則f（x）在（a，b）內(nèi)可能沒有零點，也可能至少存在一個零點。

4.如果函數(shù)的圖像是連續(xù)的，那么在相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值的符號相同。

三、與函數(shù)零點有關(guān)的規(guī)律和特點

1.函數(shù)f（x）有零點函數(shù)f（x）的圖像與x軸有交點方程f（x）=0有實數(shù)解。

2.函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有零點函數(shù)f（x）與g（x）的圖像有交點方程f（x）=g（x）有實數(shù)解。

3.函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性之間的關(guān)系。

（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可確定唯一零點：若連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且滿???? 足f（a）·f（b）<0，則方程f（x）=0在[a，b]內(nèi)有唯一零點。

（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性可確定零點成對出現(xiàn)：若連續(xù)函數(shù)f（x）具有奇偶性，則函數(shù)f（x）在y軸左右兩側(cè)的零點成對出現(xiàn)。

（3）結(jié)合函數(shù)的對稱性也可確定零點成對出現(xiàn)：若連續(xù)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a（或點（a，0））對稱，則直線x=a（（或點（a，0））左右兩側(cè)的零點成對出現(xiàn)。

4.借助函數(shù)的零點存在性理論，我們可解決如下問題。

（1）判斷或證明方程f（x）=0在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有實數(shù)解.先求f（a）和f（b）的值，若滿足f（a）·f（b）<0，則有實數(shù)解。

（2）說明方程f（x）=0的根的分布情況.關(guān)鍵是找到函數(shù)f（x）的零點在哪些較小的區(qū)間內(nèi)（即找到函數(shù)f（x）的圖像與橫軸的交點在哪些較小的區(qū)間內(nèi)），這樣就可以解決具體問題中方程的根的分布問題。

（作者單位：安徽省肥東縣第二中學(xué)）