基于大數據及倒向隨機微分方程的保險定價模型

李延敏 長春財經學院數學教研部

1 引言

倒向隨機微分方程理論研究的歷史較短，進展卻非常迅速。除了本身所具有的有趣性質之外，其重要的應用前景也是吸引眾多學者的原因。現在，倒向隨機微分方程滲透于偏微分方程、金融數學、隨即控制、微分幾何等領域。它正逐漸發展成為一門具有強大發展潛力的數學分支和應用工具。

本文針對保險定價在實際應用中的基礎理論問題，以隨機過程為基礎，把倒向隨機微分方程理論應用于其中，建立保險定價的倒向隨機微分方程數學模型，推出保險定價公式，并通過大數據運算，得出優于一般定價模型。

現在保險業中，競爭激烈，只靠保費盈利越來越艱難，投資對于保險業的盈利越來越重要，而倒向隨機微分方程已被應用于證券定價和組合中，己是很有力的投資工具了。所以把倒向隨機微分方程用于保險定價有很重要的現實意義與很廣闊的發展空間。

2 建立保險定價數學模型

2.1 在風險投資的框架下，建立保險定價的數學模型。基本思路和步驟如下：

(1)假設金融市場僅有兩類資產，即無風險資產和風險資產。不考慮交易費用，稅收和紅利。即：

進而，可以得到如下保險定價的正倒向隨機微分方程：

2.2 保險定價公式的推導

定理2.1：假設保險公司是風險中性的，其資產所滿足的倒向隨即微分方程為：

2.3 當保險價格低于實際方法定價時的條件

保險公司只要確保上述條件成立，就可以保證使用保險定價公式(2.5)厘定出較目前應用的定價方法厘定出的費率。實際情況下，一般保險資金的投資比例都可以在70%以上，都在3%左右，可以達到60%以上，而且與是同向變化的。所以通常情況下，達到 (2.6)的條件并不難。

3 實證分析

根據證券公司的“重點關注的無風險金融產品”的數據，取國債收益率的均值為無風險收益率，即=3.11%。取火災保險的附加保費0.1 作為本例的附加保費，不妨設T=1，。保險公司歷年賠款額和保險金額的數據如表1：

表1 吉林省保險公司歷年賠款額和保險金額的數據

3.1 使用實際中應用的方法(均值-方差法)計算保險價格

計算平均損失率： 計算損失率的標準差：

標準差不是很大，可設m=1。

保一百萬標的需付費0.81 萬元；

3.2 使用倒向隨機微分方程定價方法

根據(2.5)，新計算的保險價格為

保一百萬標的需付費0.722 萬，比傳統定價有一定的優勢，這個例子說明，投資者若承諾100 萬元的保險額，保險公司只需收取0.7225 萬元的保費，保險公司在1 年以后就能夠承擔最高不超過100 萬元的索賠。

通過大數據對比，保險公司能否在競爭激烈的市場化環境下，站穩腳跟，既取決于保險費用收取的合理性，又取決于風險投資運作的狀態。將承保與投資聯系起來研究保險定價，是遵從市場要求的，勢在必行。

4 新保險定價方法的結論

4.1 保險定價公式含義的分析

應用倒向隨機微分方程理論得到的保險定價公式與實際方法的比較，可以得到以下結論：

(l)給出的定價公式顯示，保險價格(保險費率)只與平均索賠率(平均損失率)和無風險收益率有關，由于這兩個參數都是相對比較穩定的，就可以使得保險費率變化不會太大。

這一點與實際情況是吻合的，保險公司在實際定價時的確會根據平均索賠率(平均損失率)和無風險收益率來調整保險價格。

(2)公式中沒有風險資產的相關參數。保險定價確實與風險資產沒有直接關系，但是如果保險公司因此而把資金都投入到無風險資產上，而不去投資風險資產，保險公司最終只可能收支相抵，難以發展業務，公司也就不會有競爭力。只有投資一定量的風險資產，通過構建投資組合，才能確保公司最大限度的賺取利潤，處于有利的地位。

(3)定價方法更加客觀，從公式 (2.5)不難看出，其中的參數都是客觀數據，不會加入主觀因素，從而可以使得保險費率更加客觀公正。相比而言，實際運用的方法則帶有主觀因素，盡管純費率和附加費率的厘定是建立在嚴密的精算科學基礎上的，但是其計算復雜，法律法規上又沒有可靠的區間規定，就使得費率的厘定有了主觀控制的可能。

(4）通過實證分析，驗證了的定價公式。進而通過兩種方法的比較，得知滿足這個條件的可行性很強，只要保險公司運轉正常，都可以得到較低的保險價格。

4.2 研究方法前景分析

利用倒向隨機微分方程理論，在投資的基礎上，對一般情況下的保險產品進行定價，由公式顯見，保險價格是客觀公正的，彌補了效用理論主觀因素的不足。此處只是給出了一般情況下的保險定價方法，為保險定價提出了一種思路，當然在實踐中保險定價要基于詳盡的社會調查和精密的計算，研究者可以根據險種的不同，將參數進行相應的變化，以顯示該險種的特性，倒向隨機微分方程理論在保險業的定價問題中具有廣闊的應用前景。