基于大數(shù)據(jù)及倒向隨機微分方程的保險定價模型

李延敏 長春財經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研部

1 引言

倒向隨機微分方程理論研究的歷史較短，進展卻非常迅速。除了本身所具有的有趣性質(zhì)之外，其重要的應(yīng)用前景也是吸引眾多學(xué)者的原因。現(xiàn)在，倒向隨機微分方程滲透于偏微分方程、金融數(shù)學(xué)、隨即控制、微分幾何等領(lǐng)域。它正逐漸發(fā)展成為一門具有強大發(fā)展?jié)摿Φ臄?shù)學(xué)分支和應(yīng)用工具。

本文針對保險定價在實際應(yīng)用中的基礎(chǔ)理論問題，以隨機過程為基礎(chǔ)，把倒向隨機微分方程理論應(yīng)用于其中，建立保險定價的倒向隨機微分方程數(shù)學(xué)模型，推出保險定價公式，并通過大數(shù)據(jù)運算，得出優(yōu)于一般定價模型。

現(xiàn)在保險業(yè)中，競爭激烈，只靠保費盈利越來越艱難，投資對于保險業(yè)的盈利越來越重要，而倒向隨機微分方程已被應(yīng)用于證券定價和組合中，己是很有力的投資工具了。所以把倒向隨機微分方程用于保險定價有很重要的現(xiàn)實意義與很廣闊的發(fā)展空間。

2 建立保險定價數(shù)學(xué)模型

2.1 在風(fēng)險投資的框架下，建立保險定價的數(shù)學(xué)模型。基本思路和步驟如下：

(1)假設(shè)金融市場僅有兩類資產(chǎn)，即無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)。不考慮交易費用，稅收和紅利。即：

進而，可以得到如下保險定價的正倒向隨機微分方程：

2.2 保險定價公式的推導(dǎo)

定理2.1：假設(shè)保險公司是風(fēng)險中性的，其資產(chǎn)所滿足的倒向隨即微分方程為：

2.3 當(dāng)保險價格低于實際方法定價時的條件

保險公司只要確保上述條件成立，就可以保證使用保險定價公式(2.5)厘定出較目前應(yīng)用的定價方法厘定出的費率。實際情況下，一般保險資金的投資比例都可以在70%以上，都在3%左右，可以達到60%以上，而且與是同向變化的。所以通常情況下，達到 (2.6)的條件并不難。

3 實證分析

根據(jù)證券公司的“重點關(guān)注的無風(fēng)險金融產(chǎn)品”的數(shù)據(jù)，取國債收益率的均值為無風(fēng)險收益率，即=3.11%。取火災(zāi)保險的附加保費0.1 作為本例的附加保費，不妨設(shè)T=1，。保險公司歷年賠款額和保險金額的數(shù)據(jù)如表1：

表1 吉林省保險公司歷年賠款額和保險金額的數(shù)據(jù)

3.1 使用實際中應(yīng)用的方法(均值-方差法)計算保險價格

計算平均損失率： 計算損失率的標(biāo)準(zhǔn)差：

標(biāo)準(zhǔn)差不是很大，可設(shè)m=1。

保一百萬標(biāo)的需付費0.81 萬元；

3.2 使用倒向隨機微分方程定價方法

根據(jù)(2.5)，新計算的保險價格為

保一百萬標(biāo)的需付費0.722 萬，比傳統(tǒng)定價有一定的優(yōu)勢，這個例子說明，投資者若承諾100 萬元的保險額，保險公司只需收取0.7225 萬元的保費，保險公司在1 年以后就能夠承擔(dān)最高不超過100 萬元的索賠。

通過大數(shù)據(jù)對比，保險公司能否在競爭激烈的市場化環(huán)境下，站穩(wěn)腳跟，既取決于保險費用收取的合理性，又取決于風(fēng)險投資運作的狀態(tài)。將承保與投資聯(lián)系起來研究保險定價，是遵從市場要求的，勢在必行。

4 新保險定價方法的結(jié)論

4.1 保險定價公式含義的分析

應(yīng)用倒向隨機微分方程理論得到的保險定價公式與實際方法的比較，可以得到以下結(jié)論：

(l)給出的定價公式顯示，保險價格(保險費率)只與平均索賠率(平均損失率)和無風(fēng)險收益率有關(guān)，由于這兩個參數(shù)都是相對比較穩(wěn)定的，就可以使得保險費率變化不會太大。

這一點與實際情況是吻合的，保險公司在實際定價時的確會根據(jù)平均索賠率(平均損失率)和無風(fēng)險收益率來調(diào)整保險價格。

(2)公式中沒有風(fēng)險資產(chǎn)的相關(guān)參數(shù)。保險定價確實與風(fēng)險資產(chǎn)沒有直接關(guān)系，但是如果保險公司因此而把資金都投入到無風(fēng)險資產(chǎn)上，而不去投資風(fēng)險資產(chǎn)，保險公司最終只可能收支相抵，難以發(fā)展業(yè)務(wù)，公司也就不會有競爭力。只有投資一定量的風(fēng)險資產(chǎn)，通過構(gòu)建投資組合，才能確保公司最大限度的賺取利潤，處于有利的地位。

(3)定價方法更加客觀，從公式 (2.5)不難看出，其中的參數(shù)都是客觀數(shù)據(jù)，不會加入主觀因素，從而可以使得保險費率更加客觀公正。相比而言，實際運用的方法則帶有主觀因素，盡管純費率和附加費率的厘定是建立在嚴(yán)密的精算科學(xué)基礎(chǔ)上的，但是其計算復(fù)雜，法律法規(guī)上又沒有可靠的區(qū)間規(guī)定，就使得費率的厘定有了主觀控制的可能。

(4）通過實證分析，驗證了的定價公式。進而通過兩種方法的比較，得知滿足這個條件的可行性很強，只要保險公司運轉(zhuǎn)正常，都可以得到較低的保險價格。

4.2 研究方法前景分析

利用倒向隨機微分方程理論，在投資的基礎(chǔ)上，對一般情況下的保險產(chǎn)品進行定價，由公式顯見，保險價格是客觀公正的，彌補了效用理論主觀因素的不足。此處只是給出了一般情況下的保險定價方法，為保險定價提出了一種思路，當(dāng)然在實踐中保險定價要基于詳盡的社會調(diào)查和精密的計算，研究者可以根據(jù)險種的不同，將參數(shù)進行相應(yīng)的變化，以顯示該險種的特性，倒向隨機微分方程理論在保險業(yè)的定價問題中具有廣闊的應(yīng)用前景。