知“三”求“二”確定磁場中軌跡圓的圓心

湖北

(作者單位：湖北省利川市第五中學)

知“三”求“二”定圓心，精準高效真省心

帶電粒子在磁場中運動是高考的熱門考點，也是學生難以掌握的核心知識之一。磁場問題題型亂、方法雜、解答難，學生不易建立知識網絡。筆者發現“知三求二”的方法可以有效地幫助學生歸納整理此類問題。

一、方法簡介

1.磁場中純軌跡問題，一般可以把重要信息歸結為五個要素：

A.入射點 B.入射方向 C.出射點 D.出射方向

E.半徑

2.對于一般磁場問題而言，只要知道其中任意三個要素就可以確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的圓心，當然也可以求出剩下的兩個要素。故名知“三”求“二”，類似運動學中的知“三”求“二”(x、t、v0、vt、a)和等差數列中的知“三”求“二”(a1、公差d、n、an、Sn)。

①ABC、ACD、ACE：中垂線法

②ABE、CDE：直接法

③ABD、BCD：估計法

④BDE：角平分線法

⑤ADE、BCE：動圓法

二、基礎例題

1.只要知道帶電粒子某點速度方向，都可以過該點作其速度方向的垂線

【例1】如圖1所示，質量為m，電荷量為q的帶負電粒子，不計重力，與AB邊成60°從M點進入勻強磁場。已知磁場垂直紙面向里，寬度為d，磁感應強度為B。

圖1

(1)若粒子從N點射出磁場，且MN=d，求粒子的速度大小。

(3)若要讓粒子從入射AB邊射出磁場，求粒子入射速度的最大值。

【感悟】1.三類題都要過入射點作入射速度方向的垂線，這樣做的目的就是把圓心束縛在這條垂線上。2.中垂線法是連接入射點和出射點成弦并作弦的中垂線，則圓心必然在此垂線上，故交點即圓心。3.直接法是圓心到入射點(圓周上的點)必為半徑。4.估計法作兩速度方向的垂線，再通過一定點(圓周上的點)來確定另一圓周上的點，從而得到圓心。

【訓練1】如圖2所示，質量為m，電荷量為q的帶正電粒子，垂直OA邊從A點射入磁感應強度為B的有界勻強磁場。已知磁場垂直紙面向里，∠AOB=30°且OA=3d。

圖2

(3)若要粒子在OA邊射出，求粒子速度的最大值。

圖3

2.知兩速度方向卻無定點時優先考慮角平分法

【例2】如圖4，一帶電質點，質量為m，電荷量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域，為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場，若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求這圓形磁場區域的最小半徑，重力忽略不計。

圖4

【感悟】1.遇速度方向就作其垂線，無定點時要想到用估計法。2.圓心可以被束縛在角平分線上。

【訓練2】在如圖5所示的平面直角坐標系xOy中，有一個圓形區域的勻強磁場(圖中未畫出)，磁場的磁感應強度為B，方向垂直于xOy平面向里，O點為該圓形區域邊界上的一點。現有一質量為m、帶電荷量為+q的帶電粒子(不計重力)從O點以初速度v0沿x軸正方向進入磁場，已知粒子經過y軸上P點時速度v方向與y軸正方向夾角為θ=30°，求OP之間的距離。

圖5

圖6

3.入射方向任意時，多靠動圓法幫助

圖7

圖8

【感悟】知道半徑時，圓心可以被束縛在某個圓上。

【訓練3】將例3中的ab板繞N點(圖7中未畫出，N點與S點處在同一水平線上)逆時針旋轉30°，其余條件不變，求ab板上被α粒子打中的區域的長度。

圖9

三、強化訓練

1.有些題目看似不屬于這些類型，但其實只是某種類型的特例而已。

圖10

【例4】如圖10所示，半徑為r的圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場邊界上A點有一粒子源，可以在紙面內源源不斷地向各個方向發射速度大小均為2kBr的帶正電的粒子(重力不計)，其中k為粒子的比荷，則粒子在磁場中運動的最長時間為

( )

【答案】B

圖11

【感悟】此題知入射點和半徑，隱藏的另一個要素是出射點(因為出射點一定在圓上)，要運動的最長時間則是圓心角越大，即對應的弦(入射點和出射點的構成的線段)越長，這樣就把出射點鎖定，屬于中垂線法。

圖12

【變式訓練】如圖12，虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點，大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則v1∶v2為

( )

【答案】C

2.角平分線法的靈活運用

( )

圖13

圖14

【答案】B

【感悟】本題的角平分線不好畫，但知兩速度方向時用角平分線方法較容易，故研究角平分線還可以與誰聯系起來，發現在圓形磁場中角平分線一定會過磁場圓心。

三、小結

1.帶電粒子在磁場中軌跡圓的圓心確定方法很多種，歸根到底是想辦法把圓心束縛住，如過點作速度方向的垂線就是把圓心束縛在垂線上，再作中垂線也是把圓心束縛在中垂線上，兩線交點即為圓心。而圓心還可以被束縛在角平分線上以及某個圓上，有了這些認識后加以練習，就不會再感覺磁場問題又難又雜了。