起重機(jī)n階伸縮臂架穩(wěn)定性的遞推公式及數(shù)值解法

姚峰林 孟文俊 趙 婕 張志德 申昌宏 閆俊慧 劉海波

1.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原，030024 2.太原大學(xué)計(jì)算機(jī)工程系，太原，0300323.太原重工股份有限公司工程機(jī)械分公司，太原，030024

0 引言

近年來(lái)，隨著高強(qiáng)度鋼材的大量使用和自動(dòng)單缸插銷技術(shù)的成熟，多節(jié)伸縮臂架技術(shù)廣泛應(yīng)用到大型工程起重機(jī)上。隨著鋼結(jié)構(gòu)高度的不斷增大，鋼材的消耗量也在不斷增加，梁柱的截面沿軸向發(fā)生變化是一種經(jīng)濟(jì)型承擔(dān)載荷的方式。箱形階梯柱模型以其長(zhǎng)度易于伸縮變化，承載力大和材料利用率高等優(yōu)點(diǎn),廣泛用于工程起重機(jī)、高空救援車等各類機(jī)械設(shè)備中，其穩(wěn)定性為學(xué)者研究的重點(diǎn)[1-2]。TIMOSHENKO等[3]對(duì)階梯柱模型進(jìn)行了研究和分析，并使用能量法對(duì)高階階梯柱的臨界力進(jìn)行了計(jì)算。王欣等[4]借助預(yù)設(shè)近似撓度曲線，使用能量法和李茲法對(duì)階梯柱進(jìn)行了研究，但該方法相當(dāng)于引入了附加約束，特別是對(duì)于四階以上的階梯柱會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。文獻(xiàn)[5-7]使用傳遞矩陣法對(duì)階梯柱的臨界力進(jìn)行了研究，但該方法目前也只能用于階數(shù)較少的階梯柱，在階梯柱階數(shù)較大情況下使用該方法也會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。隨著有限元理論的發(fā)展和完善，陸念力等[8-10]使用精確有限元法對(duì)階梯柱的臨界力進(jìn)行了研究。

我國(guó)現(xiàn)行的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T3811—2008[11]將文獻(xiàn)[8-10]的方法作為規(guī)范的階梯柱穩(wěn)定性分析精確計(jì)算方法，但這種方法對(duì)于多階階梯柱來(lái)說(shuō)，其剛度矩陣相當(dāng)龐大，特征方程復(fù)雜，對(duì)于常見(jiàn)支撐形式的階梯柱穩(wěn)定性精確數(shù)值解，常通過(guò)試湊法獲得，計(jì)算量巨大，給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了一定的困難。在現(xiàn)行的設(shè)計(jì)規(guī)范中，使用圖表來(lái)表示2～5階的階梯柱部分特殊組合情況下的長(zhǎng)度系數(shù)，但當(dāng)階數(shù)超過(guò)5階時(shí)便無(wú)法應(yīng)用，并且在非特定組合時(shí)使用線性擬合的方法，沒(méi)有給出線性擬合的誤差。德國(guó)Liebherr LTM 11200、徐工集團(tuán)QAY1200、三一重工的SANY SAC12000、中聯(lián)重科的QAY2000等機(jī)型的伸縮臂架階數(shù)都達(dá)到了8，此時(shí)現(xiàn)有的規(guī)范就無(wú)法滿足實(shí)際工程的需要,因此需要一種方法，可以較方便且迅速地求解5階及以上階梯柱臨界力的方法。本文基于縱橫彎曲理論建立了n階伸縮臂階梯柱的微分方程組，并利用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出n階階梯柱壓桿穩(wěn)定性的遞推公式。

1 階梯柱結(jié)構(gòu)變形及其微分方程

圖1 變截面階梯柱模型及受力簡(jiǎn)圖 Fig.1 Mechanical model and force diagram of a multi-stepped column

針對(duì)n階階梯柱模型，基于縱橫彎曲理論可建立各節(jié)伸縮臂撓曲微分方程。如圖1所示，n階階梯柱的總長(zhǎng)為ln，P為伸縮臂頂端承受的軸向力且P的方向保持不變，δ為伸縮臂頂端的側(cè)向位移。假設(shè)軸向力和彎矩全部由伸縮臂承受[12-13]，那么第i階壓桿模型的受力和變形如圖2所示。

圖2 第i階壓桿模型受力及位移圖Fig.2 Force and displacement diagram of thei-th section

根據(jù)模型可列出以下方程：

(1)

i=1,2,…,n

式中，Ii為第i節(jié)伸縮臂的截面慣性矩，m4；li為第i節(jié)伸縮臂頂部到吊臂根部的長(zhǎng)度，m；yi為第i節(jié)伸縮臂在平面內(nèi)偏離x軸的側(cè)向位移，m；y″2為yi的二階導(dǎo)數(shù)；E為彈性模量，Pa。

式(1)可統(tǒng)一表示為

(2)

(3)

式(2)的通解為

yi=Aisinkix+Bicoskix+δ

(4)

由撓度位移邊界條件可解出各積分常數(shù)之間的關(guān)系為

(5)

A1=0B1=-δ

(6)

(7)

(8)

記

(9)

可得到未知系數(shù)An和Bn的表達(dá)式

(10)

由伸縮臂頂部邊界條件:x=ln時(shí)yn=δ，得

Ansinknln+Bncosknln=0

(11)

將式(10)代入式(11)中得到伸縮臂失穩(wěn)特征方程為

(12)

對(duì)于一個(gè)特定起重機(jī)箱形伸縮臂，將所有已知條件代入失穩(wěn)特征方程可知，式(12)是以P為未知量的非線性方程，即失穩(wěn)特征方程為超越方程，解此非線性方程即可求得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界力P。

2 超越方程的遞推規(guī)律

當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)式(12)可以得到

cosk1l1=0

(13)

當(dāng)n=2時(shí)，可以得到

(14)

當(dāng)n=3時(shí)，可以得到

(15)

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可以證明n階階梯柱的失穩(wěn)特征方程如下：

sinknlnC(n)+cosknlnD(n)=0

(16)

C(n)=(sinkn-1ln-1sinknln-1+

(coskn-1ln-1sinknln-1-

(17)

D(n)=(coskn-1ln-1cosknln-1+

(sinkn-1ln-1cosknln-1-

(18)

D(1)=1C(1)=0

(19)

3 超越方程的數(shù)值解法

3.1 超越方程的非線性特征

已知某二階階梯柱,l1=15.4 m，l2=29.9 m，I1=43.26×10-3m4，I2=26.09×10-3m4，利用式(14)可以得到二階階梯柱所構(gòu)成函數(shù)的曲線如圖3所示。此函數(shù)是一非線性函數(shù)且不具有規(guī)則的周期性，滿足失穩(wěn)特征方程f(k1,k2)=0的點(diǎn)較多,所以必須通過(guò)增加方程的方法來(lái)確定臨界點(diǎn)。將式(3)進(jìn)行變形可得增加的方程如下:

(20)

圖3 二階階梯柱的特征方程多項(xiàng)式與k1函數(shù)關(guān)系Fig.3 Relationship between k1 and buckin g characteristic equation of the stepped column wit h two sections

對(duì)于此二階階梯柱，數(shù)值求解方程組為

數(shù)值求解結(jié)果如下：k1=0.048 0，k2=0.061 7；得到臨界力P=2.049 1×107N，長(zhǎng)度系數(shù)μ2=1.060 12。

3.2 n階超越方程組的非線性數(shù)值解法

當(dāng)階梯柱的階數(shù)為n時(shí)，超越方程組可以通過(guò)增加其約束限制方程建立方程組來(lái)求解。所建立的n階超越方程組如下：

(21)

到目前為止，這種非線性超越方程還不存在解析解，只有數(shù)值解。數(shù)值解常使用的方法包括歐拉法、龍格庫(kù)塔法、Gauss-Newton法[14]等，但這些方法可能由于矩陣的奇異而無(wú)解。本文使用Levenberg-Marquardt算法[14]來(lái)進(jìn)行求解,這種算法具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)并較原來(lái)的梯度下降法求解速度提高了幾十倍甚至上百倍，并且由式(21)所構(gòu)建的方程組總能得到最優(yōu)數(shù)值解。

通過(guò)式(21)可以求解出每節(jié)階梯柱的剛度，進(jìn)而可以求出整個(gè)階梯柱模型的臨界力P，此臨界力與相同約束條件下與階梯柱長(zhǎng)度相等的基本臂截面所構(gòu)成均等截面柱的臨界力對(duì)比，就可以求出n階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)μ2。計(jì)算公式如下：

(22)

3.3 二階階梯柱的非線性及其插值

由圖4可以看出，使用本文數(shù)值方法計(jì)算的二階階梯柱長(zhǎng)度系數(shù)與使用ANSYS 17.0計(jì)算出的長(zhǎng)度系數(shù)差值非常小，最大相對(duì)誤差為1.7×10-4，由此可知n階壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的遞推公式精度較高。此外，隨著第二階柱的慣性矩的增大，長(zhǎng)度系數(shù)μ2減小，即階梯柱的臨界力逐漸增大；隨著第一階臂架長(zhǎng)度l1與全長(zhǎng)臂架長(zhǎng)度l之比α1增大即第二階柱的相對(duì)長(zhǎng)度減小，長(zhǎng)度系數(shù)μ2非線性減小。因此在使用GB/T3811—2008中的方法查表得到μ2值時(shí)，如果選用了表中沒(méi)有的βi，那么需使用數(shù)值法進(jìn)行線性插值才可以得到更為準(zhǔn)確的結(jié)果；另外α1也會(huì)影響最終的長(zhǎng)度系數(shù)值。

圖4 二階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)μ2值Fig.4 Length coefficient μ2 of stepped colum n with two sections

3.4 多階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)

表1～表3所示為不同方法計(jì)算的三階、四階、五階階梯柱長(zhǎng)度系數(shù)μ2的比較。使用數(shù)值法對(duì)某8階階梯柱進(jìn)行臨界力計(jì)算，其參數(shù)和結(jié)果如表4所示。最終可以得到臨界力P=1.3049×106N ,長(zhǎng)度系數(shù)μ2=2.680。

表1 三階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較

表2 四階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較

表3 五階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較

表4 某八階階梯柱臨界力計(jì)算參數(shù)及結(jié)果

八階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較見(jiàn)表5，其中μ為由多級(jí)階梯柱側(cè)向剛度分析實(shí)用算式得到的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)[11],μa為使用精確有限元法得到的等效構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)[9]，Me為使用等效構(gòu)件法得到的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)[11]。

上文分別給出三階、四階、五階、八階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并且使用ANSYS 17.0對(duì)上述階梯柱的組合進(jìn)行了求解，并對(duì)本文遞推公式得到的結(jié)果與ANSYS 17.0計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)該遞推公式與Levenberg-Marquardt算法相結(jié)合所求解出的長(zhǎng)度系數(shù)具有很高的精度。

使用MATLAB2014b編制了n階超越方程組的非線性數(shù)值解程序,該程序可以對(duì)9階及9階以下，長(zhǎng)度和慣性矩任意組合的階梯柱的臨界應(yīng)力和長(zhǎng)度系數(shù)進(jìn)行求解。

表5 八階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較

4 結(jié)論

本文使用伸縮臂的階梯柱模型對(duì)n階階梯柱的穩(wěn)定性微分方程組進(jìn)行了推導(dǎo)，得到了n階階梯柱遞推公式，根據(jù)階梯柱模型的力學(xué)和結(jié)構(gòu)特性，列寫了補(bǔ)充方程；使用Levenberg-Marquardt數(shù)值算法求解n階階梯柱的超越方程組，與現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T3811—2008和ANSYS 17.0所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果證明了n階階梯柱遞推公式正確，數(shù)值解法相比其他的計(jì)算方法通用性更強(qiáng)，精度更高。此外，階梯柱模型的長(zhǎng)度系數(shù)具有一定的非線性，小范圍內(nèi)的插值不會(huì)產(chǎn)生太大的誤差，但對(duì)于大截面的階梯柱模型，若使用插值法計(jì)算，則臨界力的誤差較大。