Kronecker函數環對PvMD的一個新刻畫

周德川, 王芳貴, 胡 葵

(1. 西南科技大學 理學院, 四川 綿陽 621010; 2. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

設*是R上的半星算子,對I∈F(R),若滿足(II-1)*=R,則稱I是*-可逆的.特別地,當*取為d-算子時,稱d-可逆理想為可逆理想.若對任意I∈f(R),I都是*f-可逆的,稱R是P*MD(Prüfer*-multiplication domain).特別地,當*取為d-算子時,即R的每個有限生成理想是可逆的,稱R是Prüfer整環.

文獻[3]引進了Kronecker函數環.令

g∈R[X]且c(f)*?c(g)*}.

1 主要結果

首先,回顧文獻[8]中的一些概念.設J是R的有限生成理想,若J-1=R,則稱J是GV-理想.用GV(R)表示R的所有GV-理想的集合.設M是無撓R-模,令M的w-包絡為

Mw={x∈M?K|存在J∈GV(R),使得Jx?M}.

無撓模M稱為w-模是指Mw=M.顯然,對任意J∈GV(R),Jw=R.

設*是R上的星型算子,T是R的overring,若T=T[X]N*∩K,則稱T是R的*-linked overring.T是R的*-linked overring等價于對R的有限生成理想I,若I*=R,則(IT)v=T(更多細節,參見文獻[9]).

命題 1.1設T是R的overring,則T是R的w-linked overring當且僅當T作為R-模是w-模.更進一步,v-、t-及w-linked overrings這三者是一致的.

證明若T是R的w-linked overring,對任意α∈Tw,存在J∈GV(R),使得αJ?T.從而αJT?T,故α∈(JT)-1.J∈GV(R),故J-1=R.從而Jv=R,自然(JT)v=T.所以有(JT)-1=T,繼而α∈T,故Tw=T.反之,假設Tw=T,對R的有限生成理想I,若Iw=R,則I∈GV(R).故T=Tw=(IT)w?(IT)w(T)?(IT)v?Tv=T,從而(IT)v=T,故T是R的w-linked overring.

對任意I∈f(R),有It=Iv,且It=R當且僅當Iw=R[10].因此,易知v-、t-和w-linked overrings三者一致.

由命題1.1可知vc=wc.

引理 1.2若J∈GV(R),則Jvc=R.

證明注意w≤vc[7].若J∈GV(R),則Jw=R,因此Jvc=R.

引理 1.3[3]若*是R上的一個e.a.b.的星型算子,則對任意f,g∈R[X]{0},c(fg)*=(c(f)c(g))*.

引理 1.4[10]若B是R[X]的有限生成理想,則B∈GV(R[X])當且僅當B∩R≠0且c(B)∈GV(R).

設T是R的w-linked overring,以防混淆,用w(T)表示T上的w-算子.對T-模M,用Mw表示M作為R-模時M的w-包絡;用Mw(T)表示M作為T-模時M的w-包絡.

命題 1.5Kr(R,vc)是R[X]的w(R[X])-linked overring.

設T是R的w-linked overring,對T的分式理想A,定義wR:A→Aw,則wR是T上具有有限特征的星型算子,即(wR)f=wR[10].

定理 1.6對整閉整環R,以下等價:

1)R是PvMD,

2)Kr(R,vc)是w(R[X])-平坦R[X]-模,

3)Kr(R,vc)是平坦R-模,

4)Kr(R,vc)是w-平坦R-模.

證明(1)?(2)R是PvMD當且僅當Kr(R,vc)是平坦R[X]-模[7].注意Kr(R,vc)是Bezout整環[3],則Kr(R,vc)的有限生成理想是主理想,因此是w(Kr(R,vc))-理想,故Kr(R,vc)的每個理想是w(Kr(R,vc))-理想[10],從而是w(R[X])-理想.由文獻[14]的定理2知,Kr(R,vc)是平坦R[X]-模當且僅當對Kr(R,vc)的任意極大理想M,Kr(R,vc)M=R[X]M∩R[X],故由命題1.5及定義知Kr(R,vc)是w(R[X])-平坦R[X]-模當且僅當Kr(R,vc)是平坦R[X]-模.

(1)?(3) 由文獻[7]的推論3.8知,Kr(R,vc)是平坦R[X]-模.由于R[X]是平坦R-模,故有文獻[14]的引理2知,Kr(R,vc)是平坦R-模.

(3)?(4) 注意平坦模是w-平坦模.

(4)?(1) 由文獻[10]的定理9.2.3知,只需證對R的極大w-理想m,有Rm是賦值環.

由文獻[13]的定理2.1知,Kr(R,vc)Rm是平坦Rm-模.注意Kr(R,vc)Rm?Kr(Rm,b)及Kr(R,vc)Rm是Bezout整環,因此Kr(Rm,b)是平坦Kr(R,vc)Rm-模,Kr(Rm,b)是平坦Rm-模.由文獻[1]的定理2.20知,Rm是Prüfer整環,故Rm是賦值環.

文獻[15]引入了多項式環上的一個半星算子.設R是整環,K是其的商域,令R1=R[X],K1:=K(X)表示R[X]的商域.設*是R上的半星算子,令

Q1=(Q1∩R)[X]且(Q1∩R)* fR*}.

*[X1,X2,…,Xr]:=(*[X1,X2,…,Xr-1])[Xr],

其中*[X1,X2,…,Xr-1]是R[X1,X2,…,Xr-1]上的具有有限特征的穩定半星算子.R[X]上與w-算子有關的算子有wR-算子及w(R[X])-算子,那么w[X]-算子與它們有什么樣的關系,是否相等?本文就以討論這三類算子的關系結束.為了解決這一問題,回顧文獻[16-17]中的一些知識.R的所有理想構成的集合的子集F稱為局部系統(localizingsystem)是指滿足:

1) 若I∈F,J是R的理想且I?J,則J∈F;

2) 若I∈F,J是R的理想且對任意i∈I,(J:RiR)∈F,則J∈F.

局部系統F稱為有限生成的,是指對任意I∈F,存在有限生成理想J∈F,使得J?I.

引理 1.71) 若*是R上的半星算子,則F*:={I|I是R的理想,且I*=R*}是一個局部系統;

2) 若*是R上的具有有限特征的半星算子,則F*是有限生成的局部系統;

4) 若F是局部系統,則F[X]={A|A是R[X]的理想,且A∩R∈F}是R[X]的局部系統;

6) 若*是R上的穩定的具有有限特征的半星算子,則*′=*[X].

證明1)、2)、3)由文獻[16]命題1.2知.4)由文獻[16]命題3.1知.5)由文獻[16]知.6)由文獻[17]命題2.2知.

命題 1.8對R[X]上的3個半星算子wR,w(R[X]),w[X],有wR=w[X]≤w(R[X]).

下面的例子說明w[X]≠w(R[X]).

例 1.9對整環Z[X],其中Z是整數環,考慮其理想(X,X2+1),可證(X,X2+1)w′≠(X,X2+1)wZ[X].X與X2+1互素,而Z[X]是最大公因子整環,故(X,X2+1)∈GV(Z[X]),從而(X,X2+1)wZ[X]=Z[X].若1∈(X,X2+1)w′,則存在Z[X]的理想A,滿足(A∩Z)w=Z,且1∈((X,X2+1):A),從而A?(X,X2+1).而A∩Z?(X,X2+1)∩Z=0,與(A∩Z)w=Z矛盾.

由命題1.8知wR=w[X].那么對n≥2,是否也有wR[X1,X2,…,Xn-1]=w[X1,X2,…,Xn]?答案是否定的.下面例1.10說明wR[X1]≠w[X1,X2].

(A∩Z[X1])wZ=Z[X1]

矛盾.

致謝西南科技大學博士基金(17zx7144)對本文給予了資助，謹致謝意.