非負矩形張量最大奇異值的上下界

桑彩麗, 趙建興

(貴州民族大學 數據科學與信息工程學院, 貴州 貴陽 550025)

非負矩形張量A的最大奇異值λ0(A)在固體力學中的強橢圓性條件[1]和量子力學中的糾纏問題[2]等諸多方面發揮著關鍵作用[3-7],盡管文獻[5]給出了求解非負不可約矩形張量最大奇異值的含有正參數的迭代算法,但從文獻[8]中得知,若能在利用該算法求得λ0(A)之前,給出λ0(A)的更精確的上界作為參數,則可以加速算法的收斂,因此,從這個角度來講,研究非負矩形張量最大奇異值的上界估計也具有非常重要的意義.目前,對非負矩形張量最大奇異值的估計還不多見,就目前資料看,僅有一些初步結果[8-16],這些不足造成了張量奇異值理論的不完備,從而使其應用受到了限制.本文在文獻[9]的基礎上考慮非負矩形張量A的最大奇異值λ0(A)的上下界估計問題,并利用A的元素給出了λ0(A)的上下界,其中上界改進了文獻[9]中的結果.

1 預備知識

令R(C)為實(復)數域,p、q、m、n為正整數,m,n≥2,N={1,2,…,n}.記A=(ai1…ip j1…jq),若

ai1…ipj1…jq∈R,

1≤i1,…,ip≤m, 1≤j1,…,jq≤n,

則稱λ為A的奇異值,x和y為相應于λ的左、右特征向量,其中,l=p+q,Axp-1yq和y[l-1]為m維向量,它們的第i個分量分別為

xi2…xipyj1…yjq,

(x[l-1])i=xl-1i;

Axpyq-1和y[l-1]為n維向量,它們的第j個分量分別為

xi1…xipyj2…yjq,

(y[l-1])j=yl-1j.

記λ0(A)=max{|λ|:λ為A的奇異值},稱其為A的最大奇異值.

最近,文獻[9]中給出了最大奇異值的一個如下上界:

λ0(A)≤Ω(A)=

其中

[(ai…ii…i-aj…jj…j+rji(A))2+

[(ai…ii…i-aj…jj…j+cji(A))2+

且

Ri(A)-ai…ii…i,

ri(A)-aij…jj…j,

Cj(A)-aj…jj…j,

cj(A)-ai…iji…i.

彈性張量(當p=q=2,m=n=2或3時)在非線性彈性材料[1]中有著重要的應用.下面就m=n時,給出λ0(A)的上下界,其中上界改進了定理1的結果.

2 主要結果

L(A)≤λ0(A)≤U(A),

其中

[(ai…ii…i-aj…jj…j+rji(A))2+

[(ai…ii…i-aj…jj…j+cji(A))2+

情形1假設xt≥ys,此時顯然有xt≥yt.對任意給定的j∈N,j≠t,(1)式的第t個方程為

λ0(A)xl-1t=at…tt…txp-1tyqt+

atj…jj…jxp-1jyqj.

(3)

(i) 若xj≥yj,由(3)式可得

(λ0(A)-at…tt…t)xl-1t≤

λ0(A)xl-1t-at…tt…txp-1tyqt=

atj…jj…jxp-1jyqj≤

rjt(A)xl-1t+atj…jj…jxl-1j,

即

(λ0(A)-at…tt…t-rjt(A))xl-1t≤

atj…jj…jxl-1j.

(4)

若xj>0,由(1)式的第j個方程

λ0(A)xl-1j=aj…jj…jxp-1jyqj+

(5)

得

(λ0(A)-aj…jj…j)xl-1j≤

λ0(A)xl-1j-aj…jj…jxp-1jyqj=

即

(λ0(A)-aj…jj…j)xl-1j≤rj(A)xl-1t.

(6)

(λ0(A)-at…tt…t-rjt(A))(λ0(A)-aj…jj…j)≤

atj…jj…jrj(A).

(7)

(ii) 若yj≥xj,由(3)式可得

(λ0(A)-at…tt…t)xl-1t≤

rjt(A)xl-1t+atj…jj…jyl-1j,

即

(λ0(A)-at…tt…t-rjt(A))xl-1t≤

atj…jj…jyl-1j.

(8)

若yj>0,由(2)式的第j個方程

λ0(A)yl-1j=aj…jj…jxpjyq-1j+

(9)

得

(λ0(A)-aj…jj…j)yl-1j≤

λ0(A)yl-1j-aj…jj…jxpjyq-1j=

即

(λ0(A)-aj…jj…j)yl-1j≤cj(A)xl-1t.

(10)

(λ0(A)-at…tt…t-rjt(A))(λ0(A)-aj…jj…j)≤

atj…jj…jcj(A).

(11)

聯立(7)和(11)式得

(λ0(A)-at…tt…t-rjt(A))(λ0(A)-aj…jj…j)≤

atj…jj…jmax{rj(A),cj(A)},

解得

[(at…tt…t-aj…jj…j+rjt(A))2+

情形1假設yh≥xg,此時顯然有yg≥xg.對任意給定的j∈N,j≠g,(1)式的第g個方程為

λ0(A)xl-1g=ag…gg…gxp-1gyqg+

agj…jj…jxp-1jyqj.

(12)

(i) 若yj≥xj,由(12)式可得

(λ0(A)-ag…gg…g)xl-1g≥

λ0(A)xl-1g-ag…gg…gxp-1gyqg=

agj…jj…jxp-1jyqj≥

rjg(A)xl-1g+agj…jj…jxl-1j,

即

(λ0(A)-ag…gg…g-rjg(A))xl-1g≥

agj…jj…jxl-1j.

(13)

由(5)式得

(λ0(A)-aj…jj…j)xl-1j≥

λ0(A)xl-1j-aj…jj…jxp-1jyqj=

即

(λ0(A)-aj…jj…j)xl-1j≥rj(A)xl-1g.

(14)

(λ0(A)-ag…gg…g-rjg(A))×

(λ0(A)-aj…jj…j)≥agj…jj…jrj(A).

(15)

(ii) 若xj≥yj,由(12)式可得

(λ0(A)-ag…gg…g-rjg(A))xl-1g≥

agj…jj…jyl-1j.

(16)

由(9)式可得

(λ0(A)-aj…jj…j)yl-1j≥cj(A)xl-1g.

(17)

(λ0(A)-ag…gg…g-rjg(A))×

(λ0(A)-aj…jj…j)≥agj…jj…jcj(A).

(18)

聯立(15)和(18)式得

(λ0(A)-ag…gg…g-rjg(A))×

(λ0(A)-aj…jj…j)≥agj…jj…jmin{rj(A),cj(A)},

解得

[(ag…gg…g-aj…jj…j+rjg(A))2+

若A為可約張量，則應用類似于文獻[4]中定理2的證明，可得結論成立.證畢.

由定理1、定理2,并應用類似于文獻[9]中定理3的證明,易得如下定理.

3 數值算例

下面給出λ0(A)的上下界.由定理1得

λ0(A)≤46.

由文獻[4]的定理4和文獻[8]的定理3.2均得

18≤λ0(A)≤46.

而由定理2可得

19≤λ0(A)≤41.

事實上,λ0(A)=30.547 5.此例表明,由定理2得到的λ0(A)的上下界比由定理1、文獻[4]的定理4和文獻[8]的定理3.2得到的上下界精確.

a1111=a1112=a1222=a2112=a2121=a2221=1,

其余元素均為零.由定理2得

3≤λ0(A)≤3.

事實上,λ0(A)=3.此例表明,由定理2得到的λ0(A)的上下界可以達到真值.