關于乘性噪聲驅動的隨機動力系統的中心流形的逼近

李 琴, 陳光淦, 楊 敏

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

穩定流形、不穩定流形和中心流形等不變流形刻畫了動力系統演化的幾何結構.Mohammed等[1]研究了由半鞅驅動的隨機微分方程的穩定流形與不穩定流形;Boxler[2]和Roberts等[3]分別考慮有限維和無窮維隨機微分方程的中心流形;Duan等[4]研究在指數二分性條件下利用Liapunov-Perron方法證明隨機不變流形的存在性及其光滑性;Wong等[5-6]從數值模擬與計算機角度研究了隨機微分方程的逼近；Acqistapace等[7]用光滑的Φε(t)去近似不光滑的W(t),得到隨機微分方程的刻畫；Shen等[8]通過平穩過程研究了Wong-Zakai型的近似.

本文考慮一類Stratonovich乘性噪聲驅動的隨機發展方程

(1)

其中,W(t)是Wiener過程,它處處連續,處處不光滑,“°”表示Stratonovich乘積.系統(1)在通常乘積意義下的形式為

考慮隨機系統

0<ε?1.

(2)

1 預備知識

令H為無窮維可分的Hilber空間,其范數為|·|,內積為〈·,·〉.假定線性算子A:D(A)→H在Hilbert空間H上生成了一個強連續半群S(t):=eAt,并滿足下面條件：

(A1) 指數三分性

|eAtPcv|≤Keγ|t||v|,t∈R,v∈H,

|eAtPuv|≤Keαt|v|,t≤0,v∈H,

|eAtPsv|≤Ke-βt|v|,t≥0,v∈H,

(3)

其中,α>γ>0>-γ>-β,K>0和I=Pc+Pu+Ps.記Hc=PcH,Hu=PuH和Hs=PsH,則有H=Hc⊕Hu⊕Hs.空間Hc、Hu和Hs分別被稱為中心子空間、不穩定子空間和穩定子空間.

假設非線性項F(u)滿足F(0)=0并且在H上滿足

(A2) Lipschitz條件

|F(u1)-F(u2)|≤LF|u1-u2|,

(4)

其中LF>0是Lipschitz常數.

定義算子B:R→L(H),

定義 1.1設(Ω,F,P)是一個完備概率空間,θ={θt}t∈R是Ω上的變換族,定義映射

θ:(R×Ω,B(R)?F)→(Ω,F),

如果映射θt滿足如下條件:

(i)θ0=idΩ;

(ii) 對t,τ∈R,有θt°θτ=：θtθτ=θt+τ;

(iii) 映射(t,ω)→θtω是B(R×F,F)-可測,且對任意t∈R,有θtP=P,

則稱(Ω,F,P,θ)為驅動動力系統.

定義 1.2設(H,dH)是一個完備度量空間,如果映射

φ:(R×Ω×H,B(R)?F?B(H))→(H,B(H))

滿足下面性質:

φ(0,ω,x)=x,

φ(t+τ,ω,x)=φ(t,θtω,φ(t,ω,x)),

τ∈R,ω∈Ω,x∈H,

則稱θ和φ構成的二元組(θ,φ)為一個隨機動力系統.

定義 1.3對于隨機動力系統φ(t,ω,x),如果對任意的t≥0,ω∈Ω有

φ(t,ω,M(ω))?M(θtω),

那么隨機集M(ω)稱為正不變集.

定義 1.4對于不變集M(ω),如果存在一個Lipschitz映射

hc(·,ω):Hc→Hu⊕Hs

滿足

M(ω)=Mc(ω)={(ξ,hc(ξ,ω))|ξ∈Hc},

hc(0,ω)=0

和相切條件,即導數Dhc(0,ω)=0,對每一個ξ∈Hc,hc(ξ,·)是可測的,Hc、Hu、Hs如條件(A1)中所定義,那么M(ω)稱為一個中心流形.

考慮一個Langevin方程

(5)

它具有軌道不變性和測度不變性[9].定義

引理 1.1[7]設W(t)是R上的一個布朗運動,那么對每一個固定的T>0,當ε→0時,Φε(t)在[0,T]上幾乎處處一致收斂到W(t).

引理 1.2[9]假設zε(θtω)是Langevin方程(5)的解,那么

作變換T(ω,x)=xe-εzε(ω),方程(1)轉化為

G(θtω,vε),v(0)∈H,

(6)

其中G(ω,x)=e-εzε(ω)F(eεzε(ω)x).顯然,對任意固定的ω∈Ω,函數G和F有相同的Lipschitz常數LF.

引理 1.3[10]假設vε是方程(6)生成的隨機動力系統,那么

T-1(θtω,vε(t,ω,T(ω,u0)))=:u(t,ω,u0)

也是一個隨機動力系統.對任意u0∈H,隨機過程:(t,ω)→u(t,ω,u0)是方程(1)的解.

2 中心流形的Wong-Zakai型逼近

2.1 中心流形的存在性首先證明隨機系統(6)和(2)中心流形的存在性.

對正數η∈[γ,min{β,α}],定義2個Banach空間

Cη(ω):={φ∈C(R,H):

其范數為

|φ(·)|Cη=

以及

Cη,ε(ω):={φ∈C(R,H):

其范數為

令

Mvε,c(ω)={x∈H|φ(·,ω,x)∈Cη,ε};

MXε,c(ω)={x∈H|φε(·,ω,x)∈Cη,ε}.

引理 2.1[3]如果LF滿足

(7)

那么系統(6)有不變的Lipschitz中心流形

Mvε,c(ω)={(ξ,hvε,c(ξ))|ξ∈Hc},

其中,hvε,c(·,ω):Hc→Hu⊕Hs為Lipschitz連續映射,并且

用文獻[3]中類似的方法可得到系統(2)的中心流形.

引理 2.2如果LF滿足

那么系統(2)有不變的Lipschitz中心流形

MXε,c(ω)={(ξ,hXε,c(ξ))|ξ∈Hc},

其中,hXε,c(·,ω):Hc→Hu⊕Hs為Lipschitz連續映射,并且

2.2 中心流形的Wong-Zakai型逼近

引理 2.3設hu,c與hvε,c分別為系統(1)和(6)的中心流形映射,當ε→0時,那么

|hu,c(ξ,ω)-hXε,c(ξ,ω)|→0, a.s..

證明設u(t)和vε(t)分別是系統(1)和(6)的解.對于u(t),由引理1.3知

u(t,ω,u0)=eεzε(θtω)vε(t,ω,u0e-εzε(ω)).

系統(6)在中心流形上的解vε(t)[3]有如下表達式

vε(t)=ΨA(t,0)Pcvε0+

(8)

其中

對應的中心流形的映射為

hvε,c(ξ,ω)=

(9)

由u(t,ω,u0)=eεzε(θtω)vε(t,ω,u0e-εzε(ω)),得u(t)的中心流形的映射為

hu,c(ξ,ω)=eεzε(ω)hvε,c(e-εzε(ω)ξ,ω).

(10)

因為hvε,c(ξ,ω)關于Lipschitz連續的,而且當ε→0,e-εzε(ω)→1.

易知,當ε→0時有

hu,c(ξ,ω)-hvε,c(ξ,ω)=

eεzε(ω)hvε,c(e-εzε(ω)ξ,ω)-hvε,c(ξ,ω)→0,

得證.

引理 2.4假設條件(A1)、(A2)與(7)式成立,并且hvε,c與hXε,c分別為系統(6)和(2)的中心流形映射.當ε→0時,那么

|hvε,c(ξ,ω)-hXε,c(ξ,ω)|→0, a.s..

證明系統(2)在中心流形上解Xε(t)為

Xε(t)=eAt+Φε(t)PcXε0+

(11)

對應的中心流形映射為

hXε,s(ξ,ω)=

(12)

由引理2.1和2.2知

|hvε,c(ξ,ω)-hXε,c(ξ,ω)|=

e-εzε(θsω)F(vε(s))+

e-εzε(θsω)F(vε(s))-F(vε(s))+

F(vε(s))F(Xε(s))]ds|≤

(e-εzε(θsω)-1)]ds|+

F(Xε(s))]ds|:=I1+I2.

對于I1,由指數三分性假設可得

由引理1.1知-εzε(θtω)=Φε(t)-W(t),可得當ε→0時,Q1→0.這說明當ε→0時,I1→0.

對于I2,由指數三分性假設可得

如果能夠證明,當ε→0時,

|vε(·)-Xε(·)|Cη,ε→0,

就可得到I2→0,從而證得結論.因此,下面證明|vε(·)-Xε(·)|Cη,ε→0.

|Xε(t)-vε(t)|≤

F(Xε(s))|ds+

F(Xε(s))|ds≤

I21+I22+I23+I24+I25+I26,

(13)

那么

I22+I23+I24+I25+I26).

(14)

對于I21有

2KLF|vε(s)||e-εzε(θs)-1|ds≤

2KLF|vε(·)|Cη,ε×

(15)

對于I22有

e-η|t|-Φε(t)I22≤e-η|t|-Φε(t)×

|Xε(·)-vε(·)|Cη,εeη|t|+Φε(s)ds≤

KLF|Xε(·)-vε(·)|Cη,ε×

(16)

類似地,對于e-η|t|-Φε(t)I23、e-η|t|-Φε(t)I24、e-η|t|-Φε(t)I25和e-η|t|-Φε(t)I26有

e-η|t|-Φε(t)I23≤

(17)

e-η|t|-Φε(t)I24≤KLF|Xε(·)-

(18)

e-η|t|-Φε(t)I25≤

(19)

e-η|t|-Φε(t)I26≤KLF|Xε(·)-

(20)

由(15)、(17)和(19)式,可得當ε→0時,

再由(16)、(18)和(20)式可得

|Xε(·)-vε(·)|Cη,ε×

從而由(14)和(7)式有

|hvε,c(ξ,ω)-hXε,c(ξ,ω)|→0,

得證.

定理 2.1假設條件(A1)、(A2)與(7)式成立,且hu,c與hXε,c分別為系統(1)和(2)的中心流形映射.當ε→0時,那么

|hvε,c(ξ,ω)-hXε,c(ξ,ω)|→0, a.s..

由引理2.3和2.4,易得定理2.1成立.