半群OPD(n,r)的秩和相關秩

李曉敏, 羅永貴, 趙 平

(貴州師范大學 數(shù)學科學學院, 貴州 貴陽 550025)

1 預備知識

設[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并賦予自然數(shù)的大小序.In與Sn分別表示[n]上的對稱逆半群(即部分一一變換半群)和對稱群,SIn=InSn是[n]上的部分一一奇異變換半群.設α∈SIn,若對任意的x,y∈Dom(α),x≤y可推出xα≤yα,則稱α是部分一一保序的.記OIn為[n]上的保序有限部分一一奇異變換半群.設α∈OIn,若對任意的x,y∈Dom(α)有

|xα-yα|=|x-y|,

則稱α是保距的.令

OPDn={α∈OIn:(?x,y∈Dom(α)),

|xα-yα|=|x-y|},

則稱OPDn為[n]上的保序且保距有限部分一一奇異變換半群.記

OPD(n,r)={α∈OPDn:|Im(α)|≤r}，

0≤r≤n-1,

易見OPD(n,r)是OPDn的子半群,且對任意的α∈OPD(n,r),βγ∈OPDn,均有|Im(βαγ)|≤r,即βαγ∈OPD(n,r),因而OPD(n,r)是OPDn的雙邊星理想.

通常一個有限半群S的秩定義為

rank(S)=min{|A|:A?S,〈A〉=S}.

半群S及其子半群V之間的相關秩定義為

r(S,V)=min{|A|:A?S,A∩V=?,〈A∪V〉=S},

易見r(S,S)=0.對于有限半群的秩及其相關秩的研究目前已有許多結果[1-11].文獻[1]考慮了[n]上的保序有限部分一一奇異變換半群OIn的理想

KO(n,r)={α∈OIn:|Im(α)|≤r}, 0≤r≤n-1

本文在文獻[1-10]的基礎上繼續(xù)考慮保序且保距部分一一奇異變換半群OPDn的雙邊星理想OPD(n,r)的秩和相關秩,證明了如下主要結果.

定理 2設n≥3,0≤r≤n-1,則

定理 3設n≥3,0≤l≤r≤n-1,則

設A是自然序集[n]的非空子集,符號εA表示A上的恒等變換.用?表示空變換,規(guī)定:?是保距變換,?是部分一一保序變換.設α∈OPD(n,r),用Im(α)表示α的象集,Ker(α)表示Dom(α)上的如下等價關系

Ker(α)={(x,y)∈Dom(α)×Dom(α):xα=yα}.

對任意的t∈Im(α),tα-1表示t的原象集且|tα-1|=1.若|Im(α)|=k,1≤k≤r≤n-1,則由保序性和保距性容易驗證α有如下表示法

其中,a1

|aj-ap|=|bj-bp|,

于是,令

A={a1B={b1

為敘述方便,這里引用Green*-等價關系[12].不難驗證,在半群OPD(n,r)中,L*、R*、J*有如下刻劃:對任意的α,β∈OPD(n,r)有

(α,β)∈L*?Im(α)=Im(β),

(α,β)∈R*?Ker(α)=Ker(β),

(α,β)∈J*?|Im(α)|=|Im(β)|.

易見L*?J*,R*?J*.記

k=0,1,2,…,r-1,r.

不難驗證OPDn具有如下包含關系的雙邊星理想鏈OPD(n,0)?OPD(n,1)?OPD(n,2)?…?OPD(n,n-2)?OPD(n,n-1)=OPDn.

定義 1[4]若對任意的A={a1

ai-ai-1=bi-bi-1,

則稱A與B同距,否則稱A與B不同距.

將Xn(r)按照同距概念進行分類.對任意的A∈Xn(r),記A的同距類為[A].進一步可證:對任意的

A={a1

必定存在

C={1

2 定理的證明

為完成定理的證明先給出若干引理與推論.

若a

情形2若a=n,注意到n≥3,則a-2≥1.

引理 2對2≤k≤r-1,3≤r≤n-1,有

其中

a1b1

對任意的j,p∈{1,2,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}有

|aj-ap|=|bj-bp|.

情形1若存在j∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}，使得aj-aj-1≥3.

如果i

β=

γ=

如果i=j,令

如果i>j,令

情形2若存在j,p∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}且j≠p使得aj-aj-1≥2且ap-ap-1≥2,不失一般性,不妨設j

如果j

如果j

β=

γ=

如果j

如果i=j

β=

γ=

如果i

如果i

β=

γ=

如果i=j,令

如果i>j,令

β=

γ=

若bk

如果i

β=

γ=

如果i=j,令

如果i>j,令

β=

γ=

情形4對任意的j∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}使得aj-aj-1=1.利用保序性和保距性可知:對任意的j∈{2,3,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}使得bj-bj-1=1.由2≤k≤r-1,3≤r≤n-1可知k≤n-2,即k+2≤n.

如果a1≠1且b1=1,令

β=

γ=

如果a1≠1且b1=2,令

如果a1≠1且3≤b1≤n,令

如果ak≠n且b1=1,令

如果ak≠n且b1≠1,令

引理 3設α,β∈OPD(n,r),若(α,β)∈J*且(α,αβ)∈J*,則(αβ，β)∈L*,(α,αβ)∈R*.

證明設α,β∈OPD(n,r),若(α,β)∈J*且(α,αβ)∈J*,則

|Im(α)|=|Im(β)|=|Im(αβ)|.

再由

Im(αβ)?Im(β), Ker(α)?Ker(αβ),

與[n]的有限性知

Im(αβ)=Im(β), Ker(α)=Ker(αβ),

即

(αβ，β)∈L*, (α,αβ)∈R*.

推論 1設自然數(shù)n≥3,則

引理 4設自然數(shù)n≥3,則

證明由引理1的證明過程易知

顯然有

rank(OPD(n,0))=1.

M={α1,α2,…,αi-1,αi,αi+1,…,αn-1,αn},

則

當i

α=αiαi+1…αj-1;

當i=j時,有

α=αiαi+1…αn-1αnα1α2…αi-2αi-1;

當i>j時,有

α=αiαi+1…αn-1αnα1α2…αj-2αj-1.

OPD(n,1)=〈M〉.

再結合推論1立即有

對其余的同距類也用類似的方式進行構造,可以得到集合

若|[A]|=1,則

α=εA=εIm (α).

若|[A]|≥2,則:

當i

α=αiαi+1…αj-1;

當i=j時,有

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-2αi-1;

當i>j時,有

α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αj-2αj-1.

因此,結合推論1與引理4,立即有

定理3的證明當l=r時,顯然有

r(OPD(n,r),OPD(n,l))=0.

當0≤l

即證得

r(OPD(n,r),OPD(n,l))=

注 1半群

OPD(n,n)=OPD(n,n-1)∪{ε[n]}

rank(OPD(n,n))=n+1.

致謝貴州師范大學研究生創(chuàng)新基金(YC[2018]023)對本文給予了支持，謹致謝意.