張量Z-特征值的新包含域定理

何 軍, 唐 蘭, 劉衍民

(遵義師范學院 數學學院, 貴州 遵義 563006)

1 引言與預備知識

張量特征值是矩陣特征值的推廣,并廣泛應用到醫(yī)學成像、圖像分割和量子計算等問題中[1-7].令A=(ai1i2…im),ai1i2…im∈R,Qi[1]給出了如下的張量Z-特征值的定義.

定義 1[1]設A∈R[m,n](m階n維),若存在非零向量x∈Rn和數λ∈R使得

Axm-1=λx,xTx=1,

其中

則稱λ為張量A的Z-特征值,x為屬于λ的Z-特征向量.

令

N={1,2,…,n},為了對張量Z-特征值的性質做進一步的研究,Wang等[8]給出了如下的張量Z-特征值包含域定理.

引理 1[8]設A∈R[m,n],則

(1)

其中σ(A)表示張量A的譜,

Nij(A)={z∈C:(|z|-

(Ri(A)-Pii(A)))|z|≤Pii(A)Rj(A)},

若關于張量A的多項式滿足Axm=mAxm-1,則稱張量A為弱對稱的.令張量A的Z-譜半徑

ρ(A)=sup{|λ|:λ∈σ(A)},

Chang等[9]給出了如下的非負張量Z-特征值Perron-Frobenius定理.

引理 2[9]設A∈R[m,n]是非負不可約且弱對稱的張量,則ρ(A)是張量A的正Z-特征值,并且ρ(A)對應的Z-特征向量是正向量.

基于引理1和引理2,Wang等[8]給出了如下的非負張量Z-譜半徑上界.

引理 3[8]設A∈R[m,n]是非負弱對稱不可約的張量,則

本文考慮階數大于3的張量,給出了張量Z-特征值的新包含域定理,并通過張量Z-特征值的新包含域定理,給出了非負張量Z-譜半徑的新上界.數值例子說明本文結果優(yōu)于文獻[8]中的結果.

2 主要結果

對任意p,k∈N,令

Δk={(i2,…,im):i2,…,im中至少有2個等于k},

Δpk={(i2,…,im):i2,…,im

中至少有1個等于p,2個等于k},

中至少有1個等于p,最多有1個等于k},

中沒有1個等于p,至少2個等于k},

中沒有1個等于p,最多有1個等于k}.

定理 1設A∈R[m,n],m≥4,則

(2)

其中

Kij(A)={z∈C:(|z|-αΔiki(A)-

證明設非零向量x∈Rn是張量A的Z-特征值λ對應的Z-特征向量,即

Axm-1=λx.

(3)

令|xp|≥|xs|≥max{|xk|:k∈N,k≠s,k≠t},由(3)式可得

(4)

在(4)式兩邊同時取絕對值有

當m≥4時有

(5)

如果|xs|>0,由(3)式可得

(6)

由(5)和(6)式可得

證畢.

注 1由定理1的證明可得

|z|-(Ri(A)-Pii(A))≤

則若

成立,則有

(|z|-(Ri(A)-Pii(A)))|z|≤Pii(A)Rj(A),

即L(A)?K(A).基于定理1可得如下非負弱對稱不可約張量的Z-譜半徑的新上界.

定理 2設A∈R[m,n]是非負弱對稱不可約的張量,則

證明由引理2,設正向量x∈Rn是非負弱對稱不可約張量A的Z-譜ρ(A)對應的Z-特征向量,即

Axm-1=ρ(A)x.

由定理1可知,存在p,s∈N使得

即

證畢.

注 2由注1的可得L(A)?K(A),即定理2所得非負弱對稱不可約張量的Z-譜半徑的新上界始終比引理3(文獻[8]的定理3.4)的上界好.

3 數值例子

本節(jié)用數值例子來說明結果的有效性.

例 1設A=(aijkl)∈R[4,3]且

a1111=1,a1122=1,a1133=1,

a2211=2,a2222=3,a2233=2,

a3311=-2,a3322=-2,a3333=-3,

且其余的aijkl=0,則張量對A的Z-譜σ(A)={-3,1,3}.

圖1為結果比較.由引理1可得

L(A)={z∈C:|z|≤7},

由定理1可得

K(A)={z∈C:|z|≤3}.

圖1 L(A)與K(A)比較

由圖1可以看出,定理1的結果比文獻[8]中定理3.4的結果好.

例 2設A=(aijkl)∈R[4,2]且

a1111=1,a2222=2

且其余的aijkl=1,則張量對A的Z-譜σ(A)={0.077 8,4.285 6}.

由引理3(文獻[8]中定理4.7)可得ρ(A)≤8.515 6.由定理2可得ρ(A)≤5.524 9.由例2可以看出,定理2的結果比文獻[8]中定理4.7的結果好.

致謝遵義師范學院博士基金(遵師BS[2015]09)對本文給予了資助，謹致謝意.