一類含有未知導函數的積分不等式中未知函數的估計

范樂樂, 王五生, 鐘 華

(河池學院 數學與統計學院, 廣西 宜州 546300)

Gronwall-Bellman[1-2]為了研究微分方程的解對參數的連續依賴性考慮了下面的積分不等式

其中c≥0是常數,給出了未知函數的估計

(1)

人們發現Gronwall-Bellman型積分不等式及其推廣形式是研究微分方程、積分方程和微分-積分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性質的重要工具,因此致力于研究它的各種推廣形式,使它的應用范圍不斷的擴大.大部分數學工作者研究積分號內不含未知函數的導函數的積分不等式[3-12].由于積分號內包含未知函數及其導函數的積分不等式在研究微分-積分方程中具有重要作用,Pachpatte[13]研究了下面的積分號內含有未知函數及其導函數的線性積分不等式

t∈R+,

(2)

和

(3)

Akin-bohner等[14]在此基礎上進一步研究了時標上的線性積分不等式

t∈T0,

(4)

和

uΔ(t)≤a(t)+b(t)(u(t)+

(5)

Zareen[15]更進一步研究了積分號內含有未知函數及其導函數的非線性積分不等式

t∈R+.

(6)

本文受文獻[13-15]的啟發,研究了積分號外具有非常數因子,且積分號內含有未知函數及其導函數的非線性積分不等式

u2(s))ds),t∈R+.

(7)

不等式(7)把文獻[13]中的不等式(3)推廣成非線性積分不等式,把文獻[15]中的不等式(6)推廣成積分號外具有非常數因子的積分不等式.本文給出了不等式(7)中未知導函數的估計,舉例說明了本文結果可以用來研究相應類型的微分-積分方程解的性質.

1 主要結果與證明

為了簡化本文主要結果的證明過程,先給出一個引理.

引理 1假設函數u(t)、a(t)、b(t)、c(t)、d(t)都是定義在R+=[0,∞)上的非負連續函數,且滿足不等式

d(t)u3(t),t∈R+.

(8)

如果u(0)>0,

則有未知函數u(t)的估計式

證明先把不等式(8)中的t改寫成s,然后兩邊關于s從0到t積分,得到

對于任意非負實數T,由不等式(10)可以看出

把不等式(11)右端定義成函數v(t),即

由定義式(12)可以看出

t∈[0,T].

(13)

求函數v(t)的導函數得

b(t)v(t)+c(t)v2(t)+d(t)v3(t),t∈[0,T]. (14)

不等式(14)兩邊同除以v(t)得到

t∈[0,T].

(15)

先把不等式(15)中的t改寫成s,然后兩邊關于s從0到t積分,得到

(16)

把不等式(16)的右端定義為函數w1(t),即

(17)

由(16)和(17)式可以看出w1(t)是非負連續增函數,且滿足

v(t)≤ew1(t),t∈[0,T].

(18)

求函數w1(t)的導數得到

c(t)ew1(t)+d(t)e2w1(t),t∈[0,T]. (19)

不等式(19)兩邊同乘以-e-w1(t)得到

t∈[0,T].

(20)

先把不等式(20)中的t改寫成s,然后兩邊關于s從0到t積分,得到

t∈[0,T].

(21)

把不等式(21)的右端定義為函數w2(t),即

t∈[0,T].

(22)

可以看出

(23)

求函數w2(t)的導數

t∈[0,T],

(24)

不等式(24)兩邊同乘以w2(t)得到

(25)

把不等式(25)兩邊積分得到

由(13)、(18)、(23)和(26)式,推出

在(27)式中令t=T,得到

(28)

由于T的任意性,(28)式可以寫成

u(t)≤((exp(-(ln(u(0)+

(30)

則有未知導函數的估計式

(31)

證明由不等式(7)定義函數m(t),

u2(s))ds,t∈R+.

(32)

由不等式(7)和(32)式可以看出

m(0)=u(0),u(t)≤m(t)

(33)

和

(34)

求函數m(t)的導數

f(t)+g(t)m(t)+h(t)(f(t)+g(t)m(t))2+

h(t)(f(t)+g(t)m(t))m2(t)=

f(t)+h(t)f2(t)+(g(t)+2h(t)f(t)g(t))m(t)+

(h(t)g2(t)+h(t)f(t))m2(t)+

h(t)g(t)m3(t),t∈R+.

(35)

把引理應用于不等式(35)得到

(36)

由(34)和(36)式得到所求的估計(31)式.

2 應用

本文結果可以用來研究相應類型的微分-積分方程解的性質.現在考慮微分-積分方程

x(0)=c.

(37)

推論 1假設|c|是正常數,H∈C(R×R×R,R)滿足下列條件

(38)

f(t)、g(t)、h(t)滿足定理的要求.如果x(t)是方程(37)的解,那么有方程解的模的估計式

(39)

證明利用條件(38),由方程(37)推出

t∈R+.

(40)

由于(40)式具有不等式(7)的形式,且滿足定理中的相應條件,利用定理就可以得到所求的方程解的模的估計式(39).