一類四階非線性波動方程柯西問題解的爆破

李 寧, 李天瑞, 陳巧靈

(鄭州升達經貿管理學院 應用數學研究所, 河南 鄭州 451191)

本文研究如下具有強阻尼項的四階非線性波動方程的初邊值問題

(1)

其中,m,p>1,Ω是Rn中具有光滑邊界的有界區域.問題(1)在數學物理領域應用廣泛.事實上,物體在運動時周圍的介質產生的阻尼和力源,特別是強阻尼,對物體內部能量的積聚起著重要的耗散作用,因此,在實際模型中需要加以考慮.

此類柯西問題,眾所周知,當源項缺失,阻尼項ut|ut|m-1和Δut存在時,整體解存在[1-2]；當阻尼項缺失,源項u|u|p-1將在初始能量為負時引起解的爆破[3].

當方程(1)中的強阻尼項Δut和線性項u缺失時,非線性弱阻尼項和非線性源項之間的相互作用對解的影響已被很多作者考慮過.Levine[4-5]指出當弱阻尼項為線性,即m=1,初始能量為負時,解將在有限時刻發生爆破.Georgiev等[6]給出當m≥p時,初始值的弱解是整體存在的,當m

Chen等[15]考慮了二階波動方程的情形,即方程(1)中的Δ2u被Δu代替,同時線性項u缺失時,證明了局部解的存在唯一性,同時利用勢井法,研究了整體解的存在性,解的多項式和指數衰減.最后指出當初始數據足夠大或E(0)<0時,能量將隨著時間呈指數式增長.

文獻[4-14]都是沒有強阻尼項時的情形,研究了非線性弱阻尼項的波動方程的初邊值問題,文獻[15]研究了具有強阻尼項二階的非線性波動方程.對帶有強阻尼項的四階非線性波動方程,目前結論很少且有很多問題有待解決.本文將在以上文獻的基礎上研究具有強阻尼項的四階非線性波動方程(1)解的爆破.

1 主要結論與準備工作

首先回顧問題(1)局部弱解的存在性定理.

其中T>0充分小.

定理1.1中使問題(1)在Ω×(0,T)上存在解的所有時間T的上確界稱為問題(1)解的生命跨度,用T*表示.如果T*=∞,稱解是整體解.如果T*<∞,稱整體解是不存在的,此時也稱解在有限時刻發生爆破.

下面給出本文的主要結論.

‖u0‖Lp>λ0

(2)

且

(3)

則方程(1)不存在整體解,其生命跨度

F(0)的定義見第三節，其中0<δ<1為常數,B0為以下嵌入最優常數

(4)

為了證明定理1.2，先做如下準備.

對于方程(1)的解u，定義能量泛函為

則有

(6)

事實上，上述不等式可以按如下方式證明.用ut乘方程(1)兩端,并在Ω上積分得

從而有E(t)≤E(0),即上述方式定義的能量泛函是不增的.

下面給出解的一些估計,將在定理1.2的證明中起到重要作用.

‖u‖sLp+1≤

其中,2≤s≤p+1,H(t)=-E(t).

證明若‖u‖Lp+1≤1,則由(4)式知

引理1.2設‖u0‖Lp+1>λ0且E(0)≤E0,則對?t≥0有

證明由(4)式可知

設

則可得g(τ)的性質如下：

由于對?t≥0，有

E0≥E(0)≥E(t)≥g(‖u(·,t)‖Lp+1),

則由g(τ)的性質(9)式知不存在t*使得

‖u(·,t*)‖Lp+1=λ0,

又由泛函‖u(·,t)‖Lp+1關于時間的連續性和E0≥E(0),‖u0‖Lp+1>λ0可得

‖u(·,t)‖Lp+1>λ0, ?t≥0，

且

則引理1.2得證.

注1.1由上面引理的證明可見集合

是空集.事實上,當‖u0‖Lp+1≤λ0時,由泛函‖u(·,t)‖Lp+1關于時間的連續性知?t*使得‖u(·,t*)‖Lp+1=λ0,又由g(τ)的性質(9)式可得

與E(0)≤E0矛盾，故定理1.2中‖u0‖Lp+1>λ0這一條件是必要的.

2 定理1.2的證明

證明設

G(t)=E0+H(t),

顯然G(t)≥0,且

|H(t)|≤E0+G(t).

(10)

同時,由引理1.2知

(11)

設

(12)

其中θ充分小,將在下文中選定,且

(13)

對F(t)求導,并由方程(1)知

F′(t)=(1-α)G-α(t)G′(t)+

由(13)式知2≤(m+1)+mα(p+1)≤p+1,又由(17)、(10)和(11)式得

則

令K1、K2充分大,則?0

則

當K1取定時,選取θ充分小,使得

且

則?c2>0使得

(14)

另一方面,利用Young不等式、(13)式及引理1.1可知

因此，由(14)式可得

(15)

這里γ是依賴于c、p、α和θ的常數.又F(0)>0,則當t→t1時,F(t)→∞,這里