橢圓中的定點和定值問題

張曉帆

在橢圓問題中，部分幾何量和參數(shù)無關(guān)，不會隨著參數(shù)大小的改變而改變，而定點和定值這兩個幾何量和參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了橢圓中的定點和定值問題。

解決此類問題的關(guān)鍵在于引進參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，然后根據(jù)等式恒成立、等式變形、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。解決橢圓定點定值問題不僅能培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究和邏輯思維的能力以及科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和堅持不懈的學(xué)科精神，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于創(chuàng)新、求真求實的思想品質(zhì)。本文給出橢圓中定點和定值問題的解題策略，希望對廣大師生有所幫助。

類型一：定點問題

策略：合理選擇參變量證明直線恒過定點問題

評注：本題要求證明直線恒過定點問題，為了利用好兩直線斜率之和為-1的條件，需設(shè)出B、C兩點的坐標(biāo)，從而表示出兩條直線的斜率。而在設(shè)參數(shù)問題的選取上，常用的方案有兩種，設(shè)直線或者設(shè)點，本題中，兩者兼具，只有合理選擇參數(shù)，才能減少運算量，進而求出定點的坐標(biāo)。

在本題第2小題的解題過程中，也有不少學(xué)生采用聯(lián)立消去x的方法進行求解，這種方法則涵蓋了斜率不存在的情況，同樣值得肯定。而在課堂上，我也投影展示了這兩種不同的方法，并對這兩種方法進行了及時的肯定。學(xué)生在進行方法選擇的同時也鍛煉了自身的科學(xué)探究和邏輯思維的能力。

反思與感悟

要解決橢圓中的定點問題，若題設(shè)條件中給出定點坐標(biāo)，則應(yīng)合理選擇參變量進行驗證;若題設(shè)并未給出定點坐標(biāo)，則首先需要確定定點的坐標(biāo)，常用的方法是利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，先通過符合題設(shè)條件的一些特殊情況確定定點的坐標(biāo)，找到這個定點，明確解決問題的方向與目標(biāo)，然后再進一步探究和推導(dǎo)，得出一般情況下的結(jié)論。

類型二：定值問題

策略：用點坐標(biāo)作為參變量代入化簡計算定值

例1（普陀區(qū)2018.12高三模擬）

評注：本題探究兩條直線斜率的關(guān)系，選擇用橢圓上任意一點的坐標(biāo)作為參變量，利用直線斜率的坐標(biāo)公式，表示出兩條直線的斜率，從而表示出其乘積。同時結(jié)合點坐標(biāo)滿足橢圓方程的條件，進而得出兩條直線斜率乘積為定值的結(jié)論。解題過程中，點坐標(biāo)起到了良好的過渡作用。

本題關(guān)鍵在于選擇點坐標(biāo)作為參變量，學(xué)生也通過本題的求解鍛煉了自身的科學(xué)探究和邏輯思維能力。

反思與感悟

定值問題的解決策略和定點問題相類似，策略是通過設(shè)參數(shù)或者取特殊情況來確定定值的大小，或者將此類問題所涉及的幾何式轉(zhuǎn)化成代數(shù)式抑或是三角問題，然后再進一步證明該式是恒定的。此外，定值問題和證明問題也很類似，在求證結(jié)果是定值之前，已經(jīng)知道了該定值的結(jié)果。所以在進行一般推導(dǎo)時，應(yīng)設(shè)出參數(shù)，再運用推理，而推導(dǎo)到最終結(jié)果時，勢必會消去參數(shù)，得到需要的定值。

編輯 謝尾合