立足基礎　突出選拔　注重思維　凸顯創新

文尚平　徐華

在國家推行新一輪課程改革及各地陸續進入新高考的背景下，2019年廣西高考所采用的全國Ⅲ卷文、理科數學試題的命制，既嚴格遵循《普通高中數學課程標準（實驗）》的要求，又緊扣《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱（數學）》（以下簡稱《2019年考綱》），試卷結構穩中有變、變中求新，試題設計在立足基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗的同時，堅持以立德樹人、服務高校人才選拔為導向，多角度、多層次地考查考生的學科素養，不僅考查了邏輯推理、數學運算、創新意識與中國傳統數學文化，更突出了數學的基礎性和應用性.深入分析試題的這些特點和變化，能夠為2020年的高考備考提供一些啟示.

一、2019年高考全國Ⅲ卷數學試題分析

（一）試題結構分析

2019年高考全國Ⅲ卷數學試題的結構、分值分布與往年相比基本保持不變.結構方面講，依然是12道選擇題、4道填空題、6道解答題，解答題依舊是5道必考題和1道選考題，選考題為“二選一”模式，考生只需從坐標系與參數方程、不等式選講中任選1題解答即可;分值分布方面講，單選題60分，填空題20分，解答題70分（含選考題10分）.數列與不等式、三角函數與平面向量、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與導數六大主干知識依然是考查的重點和難點，數學學科基礎知識與基本技能的考查仍為主導方向，同時也兼顧了學科素養與人文精神的培養，突出了“立德樹人”價值導向.

（二）試題特點

分析近三年高考全國Ⅲ卷數學試題（理科）可知，高考數學試題總的特點是“穩中有變，變中求新”（如圖1）.綜觀今年全國Ⅲ卷理、文科數學試題，又可見“四個相對穩定”和“四個變化”.“四個相對穩定”，即題型、題量和分值相對穩定，主干知識、基礎知識的考查相對穩定，數學思想、通解通法的考查相對穩定，核心素養、關鍵能力的考查相對穩定.“四個變化”，即文理趨同性變大、閱讀量增加、考查內容的順序改變和部分考查內容被刪除，比如三視圖、線性規劃連續兩年未曾出現，程序框圖間隔一年再次出現等.不僅如此，試題在變化中還突出了創新性，比如在落實“立德樹人”的要求中突出了“勞育”，在學科融合中滲透了邊緣知識的掌握和學科應用思想的培養，淡化了立體幾何向量法、解析幾何固定的解題程序，考查了考生思維的創新性和批判性.

具體說來，2019年高考全國Ⅲ卷理、文科數學試題主要具有如下幾個特點.

1.注重基礎知識，聚焦關鍵能力，提升數學素養

2019年高考全國Ⅲ卷理、文數學試題的基礎題、中等難度題及難題的比例都是7∶2∶1，基本遵循了“考查基礎知識，兼顧能力考查”的原則和“對能力的考查，以思維能力為核心，突出綜合性、應用性”的指導思想，將學科知識、關鍵能力和思想方法融為一體，全面檢測了考生的數學素養.

以理科卷為例，考查數學運算的題目有第1、2、4、5、6、9、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23題，主要考查考生的運算求解能力，體現了量化的數學觀.考查邏輯推理的題目有第6、9、10、15、19、20、21、23題，主要考查考生的推理論證能力.考查數學抽象思維的題目有第9、11、20題，主要考查考生的抽象概括能力.考查直觀想象的題目有第7、8、10、15、16、19、21、22題，主要考查考生的直觀想象能力，如利用圖形描述和分析數學問題.考查數據分析的題目有第3、9、17題，主要考查考生的數據處理能力，如提取題目數據的關鍵信息，對已知數據進行細致分析，建立相應的模型，進而解決相關問題.考查數學建模的題目有第12、18、21題，主要考查考生的思維過程、實踐能力和創新意識.

2.弘揚優秀傳統文化，增強文化自信

《2019年考綱》明確提出，高考命題應弘揚中華優秀傳統文化，積極培養和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能，落實“立德樹人”目標，兼顧學科素養與人文精神的綜合培養.如理科卷第3題、文科卷第4題，以考生閱讀“四大名著”的調查數據為題目背景，考查了處理抽樣數據、計算頻率的估計值等知識，情境貼近實際，為考生所熟悉.

3.關注現實問題，落實“立德樹人”

2019年高考全國Ⅲ卷在內容上推陳出新，既結合時代背景，關注現實生活，又積極融入數學文化，凸顯育人價值導向.而且題目的設計具有情境真實、貼近生活、文化底蘊深厚等特點，體現了數學思想方法在解決實際問題中的作用.如理、文同題的第16題，為求解運用3D打印技術制作的模型的質量，創設了考生到工廠勞動實踐的場景，引導考生關注勞動、尊重勞動、親自參與勞動，體現了“勞育”的要求.又如理、文同題的第17題，以離子在生物體內殘留情況為出題背景，考查了數據統計與分析的知識，反映了數學的本位知識、思想方法與其他學科知識、方法的融合.

4.增大文理趨同性，為新高考作鋪墊

對比分析今年高考全國Ⅲ卷文、理科數學試題的考查內容，其中有59%的相同題、27%的姊妹題，只有14%的題目不一樣，文理趨同性更為明顯，如文科數學的第3題還滲透了理科排列組合的知識與方法.相比過去3年，今年試題難度的變化是理降文升，這與即將在全國范圍內逐步推進的取消文理分科、文理數學同卷的改革相呼應.

（三）試題解題思路點撥

1.常考常新的主干知識

三角函數與解三角、數列與不等式、概率與統計、立體幾何與空間向量、解析幾何、函數與導數這六大模塊是高中數學的主干知識和核心內容，是高考考查的重點.

（1）《普通高中數學課程標準（2017版）》（以下簡稱《2017課標》）將三角函數歸入主題二“函數”部分，更加強調了三角函數的“函數”屬性，要求考生學會用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的性質，并利用三角函數構建數學模型，解決實際問題.同時，《2017課標》把解三角形歸入主題三“幾何與代數”部分，要求考生結合向量的運算，探索三角形邊和角的關系，掌握并利用正、余弦定理解決數學問題.

如文、理同題的第18題：△ABC的內角A，B，C的對邊分別是[a]，b，c，已知[a] [sinA+C2=b] sin A.（1）求B;（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

試題分析：今年的解三角形題難度加大，考查形式更加靈活，可以說是“容易題”不“容易”，讓一大批考生措手不及.試題中，第（1）問是求解三角形的幾何要素（內角），需要利用正弦定理、三角恒等變換、誘導公式進行求解;第（2）問是已知三角形一邊與鄰角的大小，求解三角形面積的取值范圍，考查考生幾何問題代數化的思維與能力，重基礎、考能力，體現了數學核心素養中的幾何直觀、數學運算能力等要素.這道題設計“入口寬，方法多”，對函數與方程、轉化與化歸的要求較高，有區分度，有利于人才選拔.

解法分析：解三角形的取值范圍問題，往往會綜合考查三角恒等變換、均值不等式、函數等知識，數形結合、代數化思想是解決這類問題的關鍵.這道題第（1）問的三種解法分別體現了三種不同的恒等變換方向;第（2）問解法一、解法二分別從“角”“邊”兩個截然不同的方向描述了銳角三角形，解法三體現了極限思想與特值思想的應用，解法四體現了幾何法與代數法的綜合應用.

第（1）問解法一：由題設及正弦定理[asin A=bsin B]得sinA sin[A+C2=sin Bsin A].由于[sin A≠0]，所以[sinA+C2=][sin B].又A+B+C=[180°]，即[sinA+C2=cosB2]，所以[cosB2=][2sinB2cosB2]，且[cosB2≠0]，故[sinB2=12]，且[B∈（0°，180°）]，因此[B=60°].

第（1）問解法二：解法一是消[A+C2]留[B2]，其實也可以消[B2]留[A+C2].具體為，由解法一得[sinA+C2=][sinB]，又A+B+C=[180°]，即[sinB=2sinB2cosB2=2sinB2][sinA+C2]，又[sinA+C2≠0]，所以[sinB2=12]，且[B∈（0°，180°）]，因此B=60°.

第（1）問解法三：由解法一得[sinA+C2=sinB]，兩邊平方得[sin2A+C2=][sin2B]，即[1-cos（A+C）2=sin2B]，又A+B+C=180°，即cos（A+C）=-cosB，所以[1+cosB=2sin2B]，所以[2cos2B]+cosB-1=0，解得cosB=[ 12]，因此B=60°.

第（2）問解法一：由題設及（1）知△ABC的面積[S△ABC=][34a]，根據正弦定理得[a=csinAsinC=sin（120°-C）sinC=][33tanC+][12].由于△ABC為銳角三角形，故[0°

第（2）問解法二：由面積公式[S△ABC=12acsinB]及（1）得[S△ABC][=34a].根據余弦定理[cosB=a2+c2-b22ac=12]，所以[b2=a2-][a+1]①;由于△ABC為銳角三角形，故[cosA=][b2+c2-a22bc>0]，得[b2+1-a2>0]②;由[cosC=a2+b2-c22ab>0]得[a2+b2-1>0]③;由①②③得[12

第（2）問解法三：由（1）得B=[60°]，A+C=[120°].據大角對大邊，且△ABC是銳角三角形，可知當角A無限接近[π2]時，△ABC的面積無限靠近最大值[S1]，且[S1=32].同理，當角C無限接近[π2]時，△ABC的面積無限靠近最小值[S2]，且[S2=38].因此，[S△ABC∈（38，32）].

第（2）問解法四：由面積公式[S△ABC=12acsinB]及（1）得[S△ABC=][34a].由于△AB[C′]是銳角三角形（如下圖），在[Rt△ABC′]中作[AD⊥BC′]于D，所以符合本題條件的點C在線段[DC′]內，且[BD=12]，[BC′=2]，即[12

小結：《2017課標》對三角函數各模塊做出了明確要求，除了文科和理科要求基本相同，還把正弦、余弦定理規定為“掌握”，不僅突出了能力立意、學科特征，而且考查了考生的思維能力和學習潛能，有助于推動新一輪課程改革.

（2）歷年高考中，函數與導數通常是以3小題、1大題的方式進行考查，客觀題主要考查函數的基本性質、圖像辨識、零點問題、導數、定積分及與不等式綜合等，主觀題主要是以導數為工具解決函數、方程、不等式等綜合問題.題目設計的特點是輕技巧、重方法、多層次、重能力，考生要善于挖掘題目隱含的條件和等價轉化，掌握通法，方可做到會且對、對且全、全且快.

如文科數學的第12題、理科數學的第11題：設[f]（[x]）是定義域為[R]的偶函數，且在（0，[+∞]）單調遞減，則（ ?）.所列4個選項為：A. [flog314>f2-32>f2-23]，B. [flog314>f2-23>f2-32]，C. [f2-32>f2-23>flog314]，D. [f2-23>f2-32>flog314].

試題分析：本題主要考查函數的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區間的取值.因為[f]（[x]）是R上的偶函數，所以[flog314=f（log34）];因為[log34>][log33=1，1=20>2-23>2-32，]所以[log34>2-23>2-32].又[f（x）]在（0，+∞）單調遞減，所以[flog34

小結：函數的性質及應用是客觀題考查的重點，主要考查圖像的辨識、初等函數的性質、函數零點、不等式、導數及應用等知識，常見的是比較大小和零點問題.上述題目更加突出了函數思想方法這一考點，解題時需要淡化技巧，善于采用特值的思想方法.

再如理科數學第20題：已知函數[f（x）=2x3-ax2+b].（1）討論[f（x）]的單調性;（2）是否存在a，b，使得f（x）在區間[0，1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

試題分析：這是一道常規的導數不等式綜合題，題目難度較往年有所降低，思維量不大，但運算量不少.第（1）問起點低、入手寬，考查考生根據a的取值范圍進行分類討論研究函數單調性的能力，屬于容易題;第（2）問考查考生根據a的取值范圍，結合函數單調性進行最大值和最小值判斷的能力.

解法分析：含參函數單調性的研究、最值的求解，往往伴隨著分類討論的思想與方法，所以關于分類討論的程序和模式是解決這類問題的關鍵.

解：（1）f ′[（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），x∈]R，令[f][′][（x）=0]，得[x=0或x=a3].

①若a=0，[f][′][（x）≥0]恒成立，[f（x）]在（-∞，+∞）單調遞增.

②若[a>0]，則[x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）]時，[f]′[（x）>0];當[x∈][（0，a3）]時，[f][′][（x）<0].故[f（x）]在[（-∞，0），（a3，+∞）]單調遞增，在[（0，a3）]單調遞減.

③若[a<0]，則[x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）]時，[f][′][（x）>0];當[x∈（a3，0）]時，[f][′][（x）<0].故[f（x）]在[（-∞，a3），（0，+∞）]單調遞增，在[（a3，0）]單調遞減.

（2）滿足條件的a，b存在.

①當[a<0]時，由（1）知[f（x）]在[0，1]單調遞增，所以[f（x）min=f（0）=b=-1]，[f（x）max=f（1）=2-a+b=1]，解得a=0，b=-1.結果與[a<0]矛盾.

②當[a=0]時，由（1）知[f（x）]在[0，1]單調遞增，所以[f（x）min=f（0）=b=-1]，[f（x）max=f（1）=2-a+b=1]，解得a=0，b=-1.結果與[a=0]符合.

③當[0

④當[2

⑤當時[a≥3]時，由（1）知[f（x）]在[0，1]單調遞減，所以[f（x）min=f（1）=2-a+b=-1]，[f（x）max=f（0）=b=1]，解得a=4，b=1.結果與[a≥3]符合.

綜上可知，當且僅當a=0，b=-1或a=4，b=1時，f（x）在區間[0，1]的最小值為-1，最大值為1.

小結：導數解答題的位置前移，難度降低，變得“友好”，體現了今年數學試題“穩中有變，變中求新”的趨勢.那么，是否意味著2020年會弱化導數的考查呢？相反，今年的試題強化了導數的工具性，對考生利用這個工具分析問題、解決問題的能力，以及分類與討論的思想、意識與能力提出了更高要求，體現了對數學核心素養的數學抽象、數學運算能力的培養，回歸了導數的工具本質.

（3）解析幾何的考查過去一直保持著2道小題1道大題的題量，以及文理同題的基本模式，但今年的考查難度有所增大，凸顯了代數與幾何的雙重特征，體現了這部分內容在高考中常考常新的特點.

解析幾何的小題往往與大題互補，而且立足基礎、突出運算能力，考查重點主要是求解圓錐曲線的幾何要素，比如離心率的值（范圍）、曲線方程、焦點坐標、弦長、漸近線方程等，注重考查基礎知識、基本方法.解析幾何的大題既重視代數運算與變形，又重視對幾何性質的探究分析;既重視函數與方程的重要思想方法，又重視向量的工具作用;既重視考查考生的分析探究能力，又重視考查運算推理能力.考查的重點主要有軌跡方程的求解、定點定值問題、存在型探究性問題、范圍（最值）問題等.

如理科卷第21題：已知曲線C：[y=x22]，D為直線[y=-12]上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明直線AB過定點;（2）若以[E（0，52）]為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

試題分析：第（1）問是證明拋物線切點弦所在直線過定點，屬于曲線系（或直線系）過定點的問題，問題的本質是當曲線系（或直線系）運動變化時，這些曲線（或直線）相交于一點;第（2）問是計算四邊形面積問題，屬于數學建模的問題，需要建立面積函數模型.

解法分析：關于第（1）問，解決定點、定值問題常用的方法有兩個.一是從特殊到一般，先從特殊情況入手，挖掘問題本質，猜出定點（定值），再通過觀察規律證明一般性結論;二是從變量中尋求不變，即先用變量表示出要求解的點坐標，再通過推理計算得出點的坐標與變量無關，體現一般到特殊的推理過程.關于第（2）問，求解平面多邊形面積問題關鍵在于尋底找高，通過引進合適的變量，構建關于面積的函數模型，并結合函數單調性、均值不等式進行最值（范圍）的求解.

第（1）問解法一（先特殊后一般）：設[A（x1，x212）]，[B（x2，x222）]，[x1≠x2]，特殊地，當點D的坐標為（[0，-12]），AB直線方程為[x=12]，不妨設AB直線過定點[F（0，12）]，則kAE=kBE，即[x212-12x1-0=x222-12x2-0]，即x1x2=-1.又[y=x22]，所以[y′=x]，則[kDA=x1]，則[x1=x212+12x1-t]，整理得[x21-2tx1-1=0]，同理[x22-2tx2-1=0]，所以[x1，x2]是方程[x2-]2tx-1=0的兩根，則[x1x2=-1]，顯然符合kAF=kBF，即AB直線過定點[F（0，12）].

第（1）問解法二（先一般后特殊）：設[D（t，-12）]，[A（x1，][y1）]，[B（x2，y2）]，且[y1=x212]，又[y1=x22]，所以[y′=x]，則[kDA=x1]，[x1=y1+12x1-t]，整理得[2tx1-2y1+1=0]，同理[2tx2-2y2+1=0]，故直線[AB]方程為[2tx-2y+1=0]，當[2x=0-2y+1=0]時等式恒成立，所以直線[AB]過定點[（0，-12）].

第（2）問解法一：由（1）知直線[AB]的方程為[y=tx+][12]，由[y=tx+12y=x22]可得[x2-2tx-1=0]，則[x1+x2=2t，x1x2=][-1，][y1+y2=t（x1+x2）+1=2t2+1]，[AB=1+t2x1-x2=][（x1+x2）2-4x1x2=2][（t2+1）].設[d1，d2]分別為[D，E]點到直線[AB]的距離，則[d1=t2+1]，[d2=2t2+1].因此，[SADBE=12AB][（d1+d2）=（t2+3）t2+1].

設[C]為線段[AB]的中點，則[C（t，t2+12）].由于[EC⊥][AB]，而[EC]=（t，t2-2），且[AB]與向量（1，t）平行，所以t+t（t2-2）=0，解得t=0或t=±1.當t=0時，SADBE=3;當t=±1時，SADBE=4[2].因此，四邊形ADBE的面積為3或4[2].

第（2）問解法二：由（1）知直線AB的方程為[y=tx+][12]，當[t=0]時，[D（0，-12），A（-1，12），B（1，12）]，則[SADBE=12×][1×2+12×2×2]=3;當t≠0時，設AB中點C（x0，y0），F（0，[12]），聯立方程[y=tx+12y=x22]得[x2-2tx-1=0]，所以[x1+x2=][2t]，[x1x2=-1]，[Δ>0]，所以[x0=x1+x22=t]，[y0=t2+12]①.此時直線EG方程為[y-y0=-1t]（x-x0），結合①得y=[-1tx+32+][t2]，由于過點（0，[52]），則t2=1，即t=±1.當t=1時，[AB=][AF+BF]=y1+y2+1=x1+x2+2=4，點D，E到直線AB的距離d1=d2=[2]，所以SADBE=4[2];同理t=-1時，SADBE=4[2].因此，四邊形ADBE的面積為3或4[2].

小結：本題對考生的推理計算能力的要求較高，既重視思想方法，特別是函數方程、等價轉化等的思維，也重視計算，繁雜、冗長的計算依然是考生答題的難點.而且導數作為工具性知識滲透在本題的求解過程中，釋放出兩個信號：一是高等幾何知識的結論、思想、方法的滲透與融合，是能力立意下高考命題的趨勢;二是淡化解析幾何問題求解的固定解題程序，即“聯立直線Ax+By+C=0與二次曲線方程f（x，y）=0→消元得到關于x（或[y]）的一元二次方程→利用根與系數的關系（設而不求）”，突出解析幾何的學科本質——解析法（坐標法），重點考查數形結合思想與運算求解能力.解析幾何高考試題往往有很大的拓展空間和研究價值，在本題條件中，過拋物線[x2=2py]焦點的斜率為[k]的直線與拋物線交于A，B兩點，那么在兩點處的切線一定交于準線上一點，且交點坐標為（kp，[-p2]）.

2.學科融合

今年的試題有了努力消彌學科邊界的嘗試，整合數學與其他學科，打破以往涇渭分明的學科分界，使考生形成相互聯系的知識結構，使數學不再停留在“自我的世界”，而是作為一種思想、方法或模型而存在，用于解釋生活中的問題或現象.

如文科數學第3題：兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（ ?）.給出的選項是：（A）[16]，（B）[14]，（C）[13]，（D）[12].

試題分析：如果借助理科的排列組合知識來分析，本題其實就是相鄰問題，可用捆綁法解決，全排共[A44=24]種方法，兩位女生相鄰共[A22]·[A33]=12種方法，概率[P=1224=12]，故選D.

小結：新高考已經在全國范圍逐步推進，文科生需要具備排列組合的知識和方法，才能解決相對復雜的計數問題，即文科理科化，而理科生也需要具備一定的人文知識，即理科文科化.

又如理科數學第3題以中國“四大名著”的閱讀調查數據為背景設計考題，既考查了抽樣統計的方法，又滲透了數據處理和數學運算的素養要求，同時對考生提出了養成終生閱讀好習慣的要求，體現了對閱讀的重視.

再如文、理同題的第16題：考生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為 ? ?g.

試題分析：因為SEFGH=4×6-4×[12]×2×3=12cm2，所以VO-EFGH=[13]×12×3=12cm3.又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144cm3，所以該模型體積為V=V2-V1=144-12=132cm2，其質量為0.9×132=118.8g.

小結：該題體現了對考生“勞育”的滲透，同時將數學中的體積問題與物理質量問題相結合，體現不同學科的融合.

再如文、理同題的第17題：為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P（C）的估計值為0.07.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值;（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）.

試題分析：（1）由題得[a]+0.20+0.15=0.70，解得[a]=0.35，由0.05+[b]+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得[b]=0.10.（2）由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，乙離子殘留百分比的平均值為0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6.

小結：這道題以離子在生物體內的殘留情況為背景，反映了數學知識和方法在其他學科中的應用，體現了數學的應用價值.

2019年高考全國Ⅲ卷理、文科數學試題立足教材，緊扣《2019考綱》，注重基礎知識、基本技能的考查，突出考查主干知識、核心能力，強調數學思想和通解通法的培養，同時試題設計穩中求新，為新高考的推進作鋪墊.試題在保持結構總體穩定的基礎上，科學靈活地調整了試題的內容和順序.例如文、理同題的第17題，其內容調整為以頻率分布直方圖為背景求解樣本平均數等數字特征的概率統計，考查了數據分析和處理的能力，降低了概率統計的難度要求，與全國Ⅰ卷近兩年來把概率統計往后移甚至以壓軸題的形式出現，形成了強烈反差，對有押題、猜題想法的師生敲響了警鐘;理、文同題的第18題內容調整為已知三角形一邊和鄰角求銳角三角形面積的取值范圍，題型常規但運算量、思維容量大，考驗了考生的應變能力和心理素質.這兩題是“難題不難，易題不易”，要求考生全面掌握重點知識和重點內容，部分考生在考試中發揮失常，說明考生缺乏靈活應變的能力和主動調整適應的能力.

二、2020年高考備考建議

（一）構建知識網絡，立足基礎，回歸教材，探索科學的備考策略

很多高考試題的命制，源于課本且高于課本.所以高三第一輪復習，應立足基礎知識，多關注概念、知識的發生與發展過程，多歸納總結通性通法，回歸教材上的典型例題、習題，在教學中注重對考生進行啟發、引導，讓考生的思維缺陷得以暴露或進行“相異構想”，努力通過變換問題情境和設問方式來突破思維定勢.只有這樣才能幫助考生構建好系統的知識網絡，提高解題的應變能力.那么在高考備考復習過程中，該如何幫助考生構建好系統的知識網絡呢？具體的流程是“考查問題（大）→若干小問題→若干具體問題”.以數列的知識網絡構建為例（如下圖）：

構建知識網絡需要問題來支撐，關于問題的設計需要做到以下三點：

一是“選好題”.課前對復習資料上的例題、習題以及近5年高考試題進行評價分析，刪去偏難、偏怪、超綱、解法太單一的題目，多選“活，聯，變”題，加強中低檔題和“小，靈，通”題目的訓練.

二是“講好題”.在講解中、低檔例題時關注“三個點”——入手點、關鍵點、警戒點，做到“巧算與硬算并重，主干與細節并重，重點與非重點并重”.

三是“悟好題”.引導考生重視解題思路的探求與優化，加強反思，通過“悟一悟”的方式提升考生分析問題、解決問題的思維能力.

總之，第一輪復習要回歸教材，以高考試題的考查為導向，充分研究教材上的典型習題、例題的內涵與外延，構建好知識網絡.

（二）強化限時訓練，提高運算的精確性與準確性

運算能力包括分析運算條件、探索運算方向、選擇運算方法、確定運算程序等一系列思維能力，以及在實施運算過程中遇到運算困難時調整運算方法的能力.對于部分考生而言，由于運算能力較弱，常常會因為答題不規范造成“會而不對”，或者由于答題速度和準確度不高、思維不嚴密造成“對而不全”.比如今年高考全國Ⅲ卷理、文同題的第18題第（2）問求解三角形面積取值范圍，大量考生通過余弦定理去轉化條件“已知三角形一邊及鄰角”進而構建面積模型，而沒有選擇正弦定理，這是解題精確度不高的表現.部分考生雖然構建出了三角形面積的函數模型[S△ABC=14tanC+38]，但因為審題不細沒有關注到“銳角三角形”這個條件而導致面積范圍錯誤.這些都是限時訓練缺乏針對性、有效性、科學性所致，且說明考生沒有養成良好的解題習慣，比如考慮不周密、運算不準確、書寫不規范、作圖不標準、卷面不整潔等，而且不能做到每個步驟都“言之有理”.這些問題只有通過強化限時訓練，指導考生在規定的時間內學會分析問題，掌握科學、有效的考試方法和技巧，強化運算能力，提高心理素質，發現存在的問題并及時解決，提高應試技巧，才能得以很好解決.

（三）立足數學核心素養，突出關鍵能力，注重思維能力與創新意識的培養

數學核心素養包括數學抽象、數學運算、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數據分析6個方面.核心素養的培養離不開數學學科的基礎知識與基本技能，它需要在學習數學知識的過程中、在掌握數學思想方法的過程中，逐步積累、領悟、內省才能形成.所以教學活動的開展必須緊緊圍繞數學學科的特征和考生的認知規律.

首先，高三數學復習課的教學設計需要以考生思維能力的培養為目標，以考生經歷數學知識的發生發展過程為手段，啟發與引導考生學會用數學的眼光去觀察問題、分析問題、解決問題，培養考生“別人‘點，心有靈犀一點通;自己‘悟，融合貫通;動手‘做”，觸類旁通;自主‘學，無師自通”等多元化的能力.

其次，高三數學復習課的課堂生成需要以提升考生的邏輯推理與歸納、數學閱讀與表達、批判質疑與交流合作等關鍵能力為導向，鼓勵考生積極參與、探索，獨立思考，各抒己見，通過對問題的變式探究、交流、討論，跳出標準答案的窠臼，嘗試一題多解、多題一解.

（四）研究高考命題特點，探索科學備考策略

首先，要認真研究學科課程標準、考試大綱及說明，重視其中與往年不一樣的地方，比如哪些內容淡化了要求、哪些地方提高了要求等，通過逐一進行對比研究，精準把握2020年的高考基本要求.例如，由于課程改革的需要，三視圖、線性規劃的考查就沒有出現在今年的3套理科數學試卷里，只有全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷的文科數學試題中還保留了線性規劃的內容，這與課程標準及考試說明中要逐步淡化這兩個內容的要求一致.

又如關于立體幾何的高三備考，過去一直都過于突出坐標法的結果，而弱化了考生空間想象能力的考查，于是今年就出現了全國Ⅲ卷理科數學第8、16、21題這些以考查考生空間想象能力為主的試題，其中空間位置關系的判斷、積的計算、四點共面的證明是考查重點.

不過，考查形式更靈活的球與多面體相關的計算題今年并未出現，這應該引起注意.另外，過去一直突出概率統計中的統計分析，今年卻出現了“頻率分布直方圖”求平均數的問題;過去強調與[ex，lnx]有關的函數結構，今年卻出現了“三次函數”為背景的導數問題.可見，高考試題是不斷變化的，但靠近數學本質、考查關鍵能力和核心素養的宗旨不會改變.

其次，要研究最近5年的三套全國卷高考真題.高考題是備考的風向標，具有明確的指導性和重要的示范性.因此，各高中學校需要舉備考團隊全體同仁之力，重點研究試題的考點、試題的類型、試題的立意、試題的解法、試題的內涵與外延，并結合背景實質、命題思路、教材聯系、數學文化等多個角度進行全方位的研究，把握高考命題的方向，輕其所輕、重其所重，才能讓高考備考更有針對性與實效性.（題圖左為徐華，右為文尚平）

注：本文系廣西教育科學“十三五”規劃2017年度廣西考試招生研究專項課題“基于核心素養的有效性評價的研究”（立項編號：2017ZKS016）的階段研究成果.

（責編 蒙秀溪）