論小學生代數思維的培養

“數與代數”作為義務教育階段數學課程教學的四大內容之一，不僅有數的概念的學習，還包含了代數思維的學習。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）明確提出“理解符號[<]，=，[>]的含義”，“能結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題”，“在具體運算和解決問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系”，“了解等式的性質，會用等式的性質解決簡單的方程”。代數思維主要體現在符號、簡單的量的關系、等式與方程的過程與結構之中。代數思維的形成是學生學習數學的重要轉折點。因此，在算術的學習轉向代數的學習過程中要做好數的學習與代數學習的銜接，這樣有利于學生在知識體系中對代數有更恰當的理解，為代數的學習奠定基礎。

在現行的小學數學教材中，無論哪個版本的教材，都安排了豐富的代數學習素材，幫助學生由算術思維過渡到代數思維，從而實現由小學數學學習到初中數學學習的無縫銜接。

一、代數思維的內涵解析

（一）代數思維的內涵

代數是由算術演變而來的一種以解方程的原理為中心的、系統的、更普遍的解決各種數量關系的方法，是對各種數量問題的解法進行總結并提煉的結果。[1]但代數思維與算術思維有著本質上的不同。算術思維是從條件出發，利用具體的數量計算記錄解答中的思考過程，等式兩邊是不對稱的，表現為：左邊表明的是具體的計算，右邊則是計算所得出的結果。這個過程是程序性的。而代數思維研究的對象是代數式及其運算與變換，是通過聯系條件與問題，利用數量相等來建立關系后轉化并產生一定的表達式的結構，其本質是一種關系思維。因而代數思維既有代數的結構化和符號化的特點，同時又兼具思維的抽象化和概括化的特點。國際數學教育界認為代數思維主要包含兩個含義：借助于符號的一般化;符號的形式操作。[2]

（二）代數思維中的主要數學思想

數學思想是數學課程教學的精髓，是學生學習數學必備的素養。學生學習數學不僅僅是掌握包括定理、公式、運算程序以及解題方法在內的數學知識與技能等必要的數學知識結論，還需要在學習這些知識結論的過程中獲得數學思想?？傮w而言，小學數學代數思維涉及的主要數學思想有符號化思想、函數思想、方程思想以及模型思想。

1.符號化思想

數學世界是一個符號化的世界。數學符號因其具有簡明、抽象、清晰和準確等特點成為數學世界中常用的語言，并促進了數學的發展與推廣應用。代數思維中主要涉及字母、圖形、手勢和行為等符號，這些數學符號是人們在研究現實世界中的數量關系和空間形式的過程中產生的，由于使用便利，人們對一種符號賦予了一定的含義，使其能夠進行精確的數學運算和推理證明。例如，在探究“加法交換律”時，學生受認知發展水平的限制，通過算式的特點能夠理解[a]+2=2+[a]，明白[a]與2之間的數量關系，進而轉化為可以用符號表示的運算律：[a]+[b]=[b]+[a]。但是對于代數思維來說，使用字母符號既不是必要的，也不是充分的。代數思維的核心是“分析+概括”，而非字母本身。[3]也就是說，代數思維不是必須使用“字母”，而是強調符號化思想。

2.函數思想

小學數學蘊含著豐富的函數思想。函數是描述自然界中一種量會隨著另一種量的變化而變化的關系，強調量與量的一種依存關系。函數思想是指用運動發展變化的眼光去探究具體問題中存在的數量關系，建立起函數關系，從變化當中找到不變的規律，進而對事物的變化規律進行描述，在相互依存、相互關聯的量中，根據其中的一個量表示出另一個量。比如，在教學正比例和反比例的內容時，已知鉛筆每支售價1.2元，要解決的問題是：購買2支、3支……10支鉛筆分別需要的價錢。分析后發現，鉛筆支數的增加會導致價錢的變化。如果購買[n]支鉛筆，那么總價錢[m]元和鉛筆[n]支就可以用[m]=1.2[n]來表示。

3.方程思想

方程思想是指從分析問題的數量關系入手，通過假定未知數（如[x]），把問題中條件的已知量和未知量的數量關系轉化為方程或方程組的形式，再利用等式的性質求出未知量解決問題。方程思想的核心就是找出未知和已知之間的關系，用不含數字的數學符號表示出問題中出現的數量間等價的關系，建構出對應的數學模型。

方程思想是典型的代數思維的體現，從列數學算式解決問題到列方程解決問題，學生的思維方式發生了較大的變化。在問題解決過程中，學生能夠快速地通過列算式解決問題，比如在總價問題、折扣問題、路程問題中的條件較為簡單明了，運用算式求解就是不錯的選擇。但是在復雜的問題解決中更強調學生積極使用代數思維，先分析條件、明確問題，找出問題中的相等關系，然后用方程表示已知量和未知量的相等關系，再結合四則運算的性質和等式的性質解方程。這體現了方程思想把問題中的未知量和已知量放在等同的位置，從而降低分析問題和解決問題的難度，有利于學生解決數量關系較為復雜的問題。

4.模型思想

模型思想是小學數學教學中的核心思想。模型思想是指用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的數學結構來解決實際問題的思想方法。小學生在列方程解決問題時經歷的建模過程，主要體現在從一個問題情境中發現某種關系，再用數學符號語言對這個關系進行描述，建立起一個含有未知數的等量關系，或者是在幾個有聯系的問題情境中發現相同的數學結構，用表格、線段圖、圖形等形式來解釋。

二、小學生代數學習中存在的問題

“數與代數”作為小學數學課程內容的重要組成部分，是學習數的概念之后的進一步深化和提升，在數學課程內容中所占比重大，分布較為廣泛，內容主要涉及字母表示數、式與方程、正比例與反比例等。相比較而言，從表現形式上看，代數思維是一種形式的符號操作;從思維形式上看，代數思維是一種基于規則的推理;從問題解決的本質來看，代數思維是一種數學建模活動;從代數的本質上看，代數思維是以一般化的思想為核心。[4]小學生的抽象概括能力比較低，如果教師不重視引導學生運用代數思維解決問題，就會造成小學生在代數學習中出現一些問題。

（一）在符號表征方面的理解與使用上存在困難

表征是指由符號或符號組成的代數式、方程、不等式、函數來表示數學中的對象或結構。從“代數”的字面意思來看，可以理解為用符號表示數。符號強調的是字母、圖形等，用符號表示數字，實際上就是把符號看成是“待解的已定數”，使解題的焦點產生轉移。但學生在梳理一些問題的條件時，會在一些具體的問題情境中出現難以理解符號表征的情況，如：○-△=3，□+○=16，△+4=10。□=（ ），○=（ ），△=（ ），○、□和△這些符號在式子中都是用來表示具體的數，當這些具體的數暫時被符號所代替時，有的學生就會感到有困難，因為問題的焦點不再是以“某數”的形式存在，而是轉化為求出這些方程式及其解答方法上了。如果學生仍然糾結于○-△的結果是3、□+○的結果是16、△+4的結果是10的話，就很容易忽視等號兩邊之間相等的關系，也就不能正確理解符號所代表的關系，導致解答錯誤。

（二）將特殊情境聚焦于一般化的解題方法上有難度

《標準》在第二學段的學習目標中提出能用方程表示簡單的數量關系，能解簡單的方程，要求學生能運用方程思想和函數思想找出問題情境中的數量關系，發現相等的量，跳出題目所給的特殊的情境與數字。

一般化是代數思維的核心，是代數學習的基礎。[5]在簡單的問題解決中，如果學生只是借用代數的符號，就題解題，只關注6+7的結果是13（如6+7=13），這實際上運用的還是算術思維，并沒有關注符號背后支撐其相等關系的代數思維，會影響學生在復雜的問題情境中發現已知量和未知量之間的關系，形成問題結構化，導致無法順利地解答問題。傳統的數學教學認為，小學數學以培養學生的算術思維為主，把學生的代數思維發展看作是中學數學教學的任務，導致教學時對代數思維中的數學思想滲透得比較少，這也給小學生的代數學習及其代數思維的發展帶來了障礙。

（三）既有的算術思維習慣和偏愛的阻礙

皮亞杰的兒童認知發展理論認為，兒童在感知運動階段就能夠對較小的數量產生反應，因此，進入小學之前就具備較強的算術思維。進入小學后，一直到四年級，學生都是用算術方法解題，到五年級開始學習方程時容易出現不習慣用列方程的方法解題的情況，當看到能用算術方法解題時就會直接運用算術思維解決。此外，已有的研究發現，學生對體現算術思維背后的數值性方法的喜愛勝過于用結構化的方法，這是因為小學生接觸的大多數是簡單的數量關系，知道如何去做，在這種情況下用方程解題的優勢就難以凸顯出來，用方程解決問題的意識就比較薄弱，相應的，列方程解題的能力也會受到影響。

三、小學生代數思維的培養策略

在學生從算數思維過渡到代數思維的學習中存在的困難與問題的研究中發現，算術思維向代數思維的過渡絕不僅僅是通過大量的算術練習或符號操演就能解決的。小學生代數思維的培養可以圍繞關注符號表征、方程思想解題、函數思想及關系性思維幾個方面展開。

（一）在多元表征的學習中發展學生的符號表征意識

在教學中，代數思維的培養要注重符號語言。學生能夠運用自然語言描述量與量之間的關系后，教師可以引導學生思考能否用符號或者含有字母的式子表示，使學生在主動發現與交流中利用包括符號在內的多種形式表征同一情境，從而加深對不同表征形式中的等價關系的理解，將等價關系推廣到類似的情境中發展代數思維。

例如，在教學“整數乘法的認識”時，教師可以呈現：2+2+2=（ ）×（ ），4+4+4=（ ）×（ ），9+9+9=（ ）×（ ），△+△+△=（ ）×（ ），[a]+[a]+[a]=（ ）×（ ）。通過△、[a]表示算式中相同的加數，引導學生進一步思考△、[a]可以表示哪些數，從而理解乘法的意義。在學習運算律時，教師可以引導學生簡化“加法交換律、加法結合律、乘法交換律以及乘法結合律是什么”的自然語言，讓學生用符號語言來呈現，再對符號所代表的數進行討論，將符號滲透到變量和等量關系中，這對學生學習代數來說是非常有必要的。符號語言的概括化與一般化也是代數思維的特點，為在問題解決中的使用提供了便利，也提高了學生的代數思維能力。

（二）培養學生用列方程解題的意識和能力

《標準》明確了通過“式與方程”的學習，學生頭腦中的數的概念得以擴展，能更簡明地用符號表達日常生活中的數量關系及一般規律?！笆脚c方程”的學習是學生由算術學習轉向代數學習，由算術思維向代數思維發展的必經之路。由算術思維過渡到代數思維，教師需要精心設計教學活動，讓學生經歷這一過程。

第一，培養學生用方程解題的意識。小學生在解決問題過程中往往習慣于利用頭腦中已有的算術知識經驗，且大多數剛學習方程的學生并不能意識到方程的優點，主觀使用方程解題的意愿不高。對于計算較為復雜的題目，用算術法解題比較復雜，步驟繁瑣，相比較而言，用方程解題有以下優勢：可以根據條件中的數量關系進行整體的構造，能清晰地解釋問題的結構，避免在算術解題中對中間變量進行解釋;通過將未知數與已知數放到對等的位置上操作，能避免算式解題中逆向思維所帶來的困難。所以，教學中教師可以設置一些趣味性的生活問題或稍微復雜的問題情境，讓學生切實感受到列方程解決問題的獨特價值，培養學生用方程解題的意識。

第二，提高學生用方程解題的能力。在日常的問題解決教學中，教師要有意識地訓練學生尋找題目中的數量關系，弄清楚題目需要的是直接假設還是間接假設需要的量，然后用符號語言建構方程。在用相等的數量關系寫出方程后，教師再指導學生應用四則運算的性質或利用等式的性質解方程，明確假設的量是使這個方程平衡的值，從而發展學生用列方程解決實際問題的代數思維。

（三）創設合適的情境，滲透函數思想

代數思維的核心思想是一般化，突破具體問題情境的限制，尋找到一般化的思想也是函數思想的體現。盡管在《標準》中沒有明確指出第一學段有關函數思想的內容，但結合現行的小學數學教材就會發現，在第一學段的學習中，函數思想主要是通過表格、找規律等形式進行滲透。

如下表，教學時教師通過讓學生觀察被減數和減數的數值變化情況，能夠總結出差的變化規律。當然，也可以表征發現減數與差的關系，推廣到減數與差的和、被減數之間的等價關系。同時，教師可以詢問學生能不能再寫出滿足這樣關系的量并描述其變化規律。

減法算式各部分之間的關系[被減數 70 70 70 70 減數 14 24 34 44 差 ]

在第二學段，教師可以通過學生熟悉的問題情境去研究變量間更進一步的關系。教學正比例和反比例時，教師要鼓勵學生在分析具體問題和進行數據計算后，進一步探究問題中的簡單的表達式，根據問題中變量之間的呈正比或者呈反比的關系，嘗試建立起自變量、因變量和常數的關系，同時聯系生活實際，體會量與量之間一一對應的關系，抓住問題情境中最為本質的函數關系，引導學生進入真正意義的代數學習。

（四）關注學生關系性思維的培養

關系性思維是代數思維的基礎，是基于將等號兩側的表達式和等式看作整體，對各數量“有聯系地”進行思考，揭示相互關系的思維。這種“聯系”是不需要通過常規的計算得出結果，是通過呈現出的一系列常規算式在比較中去抓住數與數之間的聯系。[6]例如，計算58+37可以利用58接近60，通過58“增加2”，則37“減去2”轉化為60+35。這種轉化就隱含著“[a]+[b]=（[a]+[c]）+（[b]+[c]）”這樣一種代數關系和結構。受這種關系結構式的啟發，學生利用這種策略解決不同的數字問題，不僅體現了代數思維中對等號兩邊數量關系的等價，也表現了對“抵消”這一數字關系的理解。這樣，即使學生思考的對象是算術，實際上卻是代數思想在支撐著。

參考文獻：

[1]李星云.論中小學數學教學的銜接[J].廣西教育，2012，（11）：28.

[2]徐文彬.如何在算術教學中也教授代數思維[J].江蘇教育，2013，（9）：16-17.

[3]鄭毓信.數學教學與學會思維——“教數學、想數學、學數學”系列之四[J].小學數學教師，2015，（6）：4-11.

[4][5]周穎嫻.初一學生從算術思維過渡到代數思維的困難分析[D].蘇州大學，2009：8-12.

[6]張曉霞，宋敏.小學生關系性思維的測試與分析[J].教育與教學研究，2009，（7）：24-27.

[作者簡介]李星云，男，南京師范大學小學教育研究所所長、教授、博士生導師。

（責編 歐孔群）