北師大版《認識二元一次方程（組）》教學(xué)案例分析

李洋

一、教學(xué)內(nèi)容分析

方程是刻畫現(xiàn)實世界等量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，方程概念的本質(zhì)是溝通已知量和未知量之間的關(guān)系，借助已知量，求出未知量。二元一次方程是屬于方程的一個類型，因此獲得其概念本質(zhì)的過程要經(jīng)歷一個從特殊到一般的抽象概括的過程，從而建立二元一次方程（組）的模型。北師大版教材中把《認識二元一次方程（組）》安排在八年級上的第一節(jié)。由于是起始課，所以要讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)這個新的方程模型，在概念引入的時候可以采用實例引入和對比教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方法，有利于讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性。

每一個科學(xué)概念都有其確定的內(nèi)涵，概念的內(nèi)涵就是指反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性。教材中通過豐富情景，讓學(xué)生不斷地建立二元一次方程和二元一次方程組，學(xué)生類比一元一次方程定義，逐步抽象出二元一次方程的概念。學(xué)生在抽象出這個概念的過程中，不僅有利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維和推理意識，還建立了具有二元一次方程模型的意識。教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生得出形式化定義，更要關(guān)注學(xué)生的建模過程。在每個具體情境中可向?qū)W生提出類似于“題目中的已知量，未知量是什么”“已知量和未知量之間的關(guān)系是什么”“未知量的個數(shù)有幾個”等這樣的問題。幫助學(xué)生認清楚題目中有兩個未知量，找到未知量和已知量之間的關(guān)系從而建立新的方程模型，這樣的一個建模過程既豐富了學(xué)生解決實際問題的一般性策略，也在不斷的建模和思考中揭示了所學(xué)新的概念的本質(zhì)。

內(nèi)涵和外延是概念的兩個方面，教學(xué)中不僅要關(guān)注概念的內(nèi)涵還要注重概念的外延，外延是指一個概念所概括的思維對象的數(shù)量或范圍。在形式上所有二元一次方程都可化為ax+by=c（a、b≠0）的一般形式與ax+by+c=0（a、b≠0）的標(biāo)準(zhǔn)式，否則不為二元一次方程。我們所學(xué)的幾元幾次方程都是指整式方程，而整式方程都隸屬于有理方程，所以二元一次方程不是分式方程，更不是無理方程。這一點在向?qū)W生講解時，要適度把握二元一次方程概念外延的明晰，是建立在代數(shù)式的概念不斷完善的基礎(chǔ)上進行的。教學(xué)時我們可以在九年級學(xué)完相關(guān)內(nèi)容后，對于學(xué)有余力的學(xué)生再進行相應(yīng)的明確，界定外延。

二、教育價值分析

二元一次方程（組）一直是中考數(shù)學(xué)重點考查知識之一，對于它的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、類比等思維能力，教學(xué)中合理設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)將有利于發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)，并有利于發(fā)展符號意識和應(yīng)用意識。讓學(xué)生經(jīng)歷在不同的情景中，用二元一次方程（組）來刻畫問題的過程，體會二元一次方程（組）概念的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的推理能力和模型思想。

三、知識間的聯(lián)系

1.縱向聯(lián)系

小學(xué)階段：已經(jīng)認識了方程的概念，并會用方程描述簡單的數(shù)量關(guān)系，會用等式的基本性質(zhì)解簡易方程，進行求解。

初中階段：繼初步建立方程概念后，又陸續(xù)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程及二元一次方程組、三元一次方程組（選學(xué)）、分式方程、一元二次方程，這些方程的研究方法基本相同，在方程的解法上都采用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

高中階段：繼續(xù)學(xué)習(xí)高次、多元方程的解法，以及研究二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題。

2.橫向聯(lián)系

（1）初中階段與二元一次方程有關(guān)的知識有：代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程（組）、一次函數(shù)、分式方程、一元二次方程。在學(xué)習(xí)了一元一次方程之后，學(xué)生明晰了“元”和“次”的概念后，又繼而學(xué)習(xí)二元一次方程（組）。

（2）一次函數(shù)與二元一次方程密切相關(guān)，只不過是各自側(cè)重點不同。

“形”的角度：從一次函數(shù)圖象上理解二元一次方程和二元一次方程組的解，一條直線上所有點的坐標(biāo)就是相應(yīng)二元一次方程的解;兩條直線交點的坐標(biāo)就是相應(yīng)二元一次方程組的解，因此可以借助做出兩個一次函數(shù)的圖象，找到交點坐標(biāo)，從而確定相應(yīng)的二元一次方程組的解。

“數(shù)”的角度：一次函數(shù)表達式的確定基于兩個條件，通過待定系數(shù)法，具體求解時又要用到二元一次方程組。

（3）在中考命題中，在作為代數(shù)建模能力考查問題時，通常把二元一次方程組和一元一次不等相聯(lián)系一起考查。解決實際問題最優(yōu)化時，二元一次方程又和一元一次不等式有著密切聯(lián)系。

（4）解二元一次方程組的本質(zhì)是“消元”，把“二元”變?yōu)椤耙辉?解分式方程是通過去分母化為一元一次整式方程求解;解一元二次方程的方法是降次，分解成兩個一元一次方程求解，這幾個方程在解法上可以類比學(xué)習(xí)，有著內(nèi)在聯(lián)系。

四、課標(biāo)要求解讀

課標(biāo)要求是能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

其中的核心名詞是“數(shù)量關(guān)系”，行為動詞是“列出”。“數(shù)量關(guān)系”也就是等量關(guān)系，可以依據(jù)題意，從事情的變化結(jié)果中找等量關(guān)系，或根據(jù)常用的計算公式找等量關(guān)系，或根據(jù)“不變量”找等量關(guān)系。“列出”可以分解為“寫出”。在教學(xué)中選擇貼近學(xué)生生活的實例，讓學(xué)生經(jīng)歷在具體問題中探索數(shù)量關(guān)系，體會模型的思想。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，以及上述教材和學(xué)情的分析，制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過實例讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)二元一次方程的必要性和優(yōu)越性，并能列出二元一次方程及二元一次方程組，并能說出方程組中兩個未知量所表示的意義相同。

（2）能寫出二元一次方程的解，并知道它的解有無數(shù)個以及二元一次方程組中每個方程的公共解才是二元一次方程組的解。

（3）培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題時，能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

教學(xué)重點：（1）能說出二元一次方程（組）的概念，以及二元一次方程的解及二元一次方程組的解的概念。

（2）會列出二元一次方程解決實際問題。

教學(xué)難點：（1）能說出二元一次方程的解及二元一次方程組的解的概念，和其相應(yīng)的解的個數(shù)，表示形式的理解。

（2）會判斷一組數(shù)值是否為二元一次方程及二元一次方組的解。

五、經(jīng)驗與學(xué)習(xí)困難分析

1.經(jīng)驗和基礎(chǔ)

（1）通過七年級一元一次方程概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以類比一元一次方程的“元”和“次”去發(fā)現(xiàn)和認識二元一次方程的概念。

（2）學(xué)生已經(jīng)具有在實際情境中尋找等量關(guān)系的經(jīng)驗，并會設(shè)一個未知數(shù)去列方程，初步感受模型思想，積累了用方程解決實際問題的經(jīng)驗。

（3）學(xué)生已經(jīng)會利用等式基本性質(zhì)求出一元一次方程的解，并知道一元一次方程未知數(shù)的解只有一個。

（4）學(xué)生之前已學(xué)習(xí)了大量的數(shù)學(xué)概念，對數(shù)學(xué)概念的建立并不陌生，尤其是在學(xué)習(xí)一元一次方程時，已經(jīng)經(jīng)歷了從具體的情境中抽象出一元一次方程概念的過程，初步具有建模思想。

2.困惑和困難

（1）由于90%以上的學(xué)生在解決應(yīng)用問題時，已經(jīng)習(xí)慣了設(shè)一個未知數(shù)去列方程，而這節(jié)課需要設(shè)兩個未知數(shù)，找兩個等量關(guān)系列方程，這在方程模型認知上是一個沖突，在列方程的方法上需要有一個過渡。

（2）本節(jié)課所學(xué)習(xí)的二元一次方程的解有無數(shù)個，學(xué)生對解的個數(shù)的理解也要有一個新的認識。

（3）二元一次方組的解是同時滿足兩個方程的公共解，是一組兩個未知數(shù)的值，并用聯(lián)立號連接，這在解的理解、表示形式上對學(xué)生來說也是一個新的認識。

（4）學(xué)生對這種新的方程模型思想方法的理解，要更多地關(guān)注學(xué)生的建模過程，能否順利地找到已知量和未知量之間的關(guān)系，從而列出二元一次方程（組）。

六、設(shè)計教學(xué)策略

策略1：引入學(xué)習(xí)二元一次方程模型的必要性及優(yōu)越性

具體設(shè)計：（1）出示雞兔同籠的經(jīng)典問題：“有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？”

學(xué)生分別用假設(shè)法和一元一次方程解答，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上做如下梳理：用方程比算術(shù)更容易表示數(shù)量關(guān)系！

繼續(xù)出示問題：（2）小明買了1kg蘋果和2kg梨，共花了26元;小麗買了2kg蘋果和1kg梨，共花了28元，蘋果和梨的單價各為多少元？

受第一個問題解決方法的啟發(fā)，學(xué)生會設(shè)蘋果單價為x元，則梨的單價為元。教師引導(dǎo)這里梨的單價表示較為復(fù)雜，如果設(shè)蘋果單價為x元，則梨的單價為y元。讓學(xué)生進一步感受有些情況下只設(shè)一個未知數(shù)，表示另一個未知量時比較繁瑣，不好表示，學(xué)生得出設(shè)兩個未知數(shù)更容易表示題目中的數(shù)量關(guān)系，得出二元一次方程模型比一元一次方程模型更優(yōu)越，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性。

策略2：講解二元一次方程和二元一次方程組的概念

具體設(shè)計：出示四個問題串：

（1）某班共有55名同學(xué)。

設(shè)該班有男生x人，女生y人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

（2）某班要派全部男生和部分女生組成30人的隊伍參加拔河比賽。

設(shè)該班有男生x人，女生z人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

（3）某班女生人數(shù)比男生人數(shù)的2倍少5人。

設(shè)該班有男生x人，女生y人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

（4）某班要派全部男生和部分女生組隊參加拔河比賽，其中的男生是女生的2倍。

設(shè)該班有男生x人，女生z人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

通過設(shè)置四個問題串，讓學(xué)生學(xué)會如何列二元一次方程，類比一元一次方程的概念，得出二元一次方程的概念。

在問題背景不變的情況下把四個問題兩兩組合，問題（1）（3）組合，問題（2）（4）組合，教師把剛才列出的四個二元一次方程分別兩兩組合聯(lián)立，并分析其形式上的特點，得出二元一次方程組的概念。

策略3：得出二元一次方程的解和二元一次方程組的解

具體設(shè)計：讓學(xué)生嘗試寫出剛才其中兩個二元一次方程x+y=55和2x-y=5的幾組解，并借助Excel表格展示出這兩個二元一次方程的解，學(xué)生直觀地理解二元一次方程的解的概念，同時感受到二元一次方程的解有無數(shù)個。設(shè)置“比一比看誰的眼力快”的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生找到公共解后，再講解二元一次方程組的解，并使學(xué)生明確二元一次方程組的解只有一組。

策略4：在教學(xué)中要更多地關(guān)注建模過程，讓學(xué)生感受二元一次方程概念的本質(zhì)

具體設(shè)計：從蘋果梨的問題一直到四個問題的過程中，就要不斷地向?qū)W生提出問題以下問題：（1）題目中的已知量，未知量是什么？（2）各個量之間的關(guān)系是什么？（3）題目中的等量關(guān)系有幾個等這樣的問題。對于較復(fù)雜的問題進行適當(dāng)?shù)姆纸猓瑤椭鷮W(xué)生尋找等量關(guān)系，不斷地建立方程模型。

編輯 溫雪蓮