具有加權(quán)梯度源項的半線性拋物方程解的爆破時間下界?

2019-11-21 09:11:02馬羚未方鐘波

中國海洋大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2019年1期

馬羚未，方鐘波

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島 266100)

迄今為止，已有許多學(xué)者致力于拋物型方程解的整體存在性與爆破現(xiàn)象及定性性質(zhì)方面的研究，且已有許多專著和綜述性的成果(見文獻[1-4])。特別是，Quittner和Souplet專著[2，第 3,4章]中詳細介紹了具有Dirichlet邊界條件和常系數(shù)a的反應(yīng)-擴散模型中解的定性性質(zhì)。粗略地概括，爆破的發(fā)生以及類型依賴于常數(shù)系數(shù)a，初始值以及區(qū)域的選取，且梯度模型的另一個顯著特點是在適當?shù)臈l件下可能發(fā)生邊界或內(nèi)部中梯度爆破現(xiàn)象。最近，爆破問題中爆破時間的上下界估計的研究方面有新的進展。實際上，關(guān)于拋物型方程解發(fā)生爆破時爆破解的爆破時間上界(見文獻[5]中六種方法)的技巧較多。然而，爆破解的爆破時間下界一般較難確定且大部分文獻限制在三維空間中，主要困難在于Sobolev最優(yōu)化常數(shù)的確定。這里提供給讀者參考文獻[6-9](不含梯度項),文獻[10-13] (含梯度項)及相關(guān)文獻。特別地， Marras在文獻[11]中研究了如下具有齊次Dirichlet邊界條件和梯度源項的半線性拋物型方程組的初邊值問題

并在三維空間中具有光滑邊界的凸區(qū)域上得到了解發(fā)生爆破時爆破時間的下界。

關(guān)于具有空變系數(shù)的反應(yīng)模型，Song和Lv[14,15]最近研究了具有加權(quán)內(nèi)部源項的局部拋物型方程

ut=Δu+axf(u), (x,t)∈Ω×(0,t*),

a1:ax>0，x∈Ω；ax=0，x∈?Ω，或

其中c，c1，c2為正常數(shù)。當初邊值問題具有非線性Neumann邊界條件，且權(quán)函數(shù)滿足a1或a3或a4時，得到了三維空間中問題解發(fā)生爆破時爆破時間界的估計(見文獻[14])。在文獻[15]中，考慮了問題具有齊次Dirichlet和齊次Neumann邊界條件且權(quán)函數(shù)滿足a1或a2的情形，在高維空間中得到了初邊值問題解的爆破時間界與爆破速率的估計。

綜上所述，在高維空間(N≥3)上具有加權(quán)梯度源項的半線性拋物型方程Dirichlet初邊值問題解的爆破分析方面的研究還未得到展開。因為方程中含有加權(quán)梯度源項，所以微分不等式技巧的應(yīng)用中遇到困難。本文中，受Marras[11]工作啟發(fā)，在高維空間中考慮具有加權(quán)梯度源項的半線性拋物方程

ut=Δu+axf▽u,x,t∈Ω×0,t*,

(1)

給出齊次Dirichlet邊界條件和初始條件

ux,t=0,x,t∈?Ω×0,t*,

(2)

ux,0=u0x,x∈Ω。

(3)

a1:ax>0，x∈Ω；ax=0，x∈?Ω，或者

非負初始值u0x為C1類連續(xù)函數(shù)且滿足相容性條件。因此，由拋物方程經(jīng)典理論可知問題(1)～(3)存在唯一的非負古典解。解的最大存在時間t*∈(0,+∞]。此外，若t*<+∞，則ux,t以C1-范數(shù)意義下在有限時刻發(fā)生爆破(見文獻[16，定理 10,p.206])；即

模型(1)常常稱為具有黏性的Hamilton-Jacobi方程且與物理學(xué)理論中描述界面生長及粗化的Kardar- Parisi-Zhang方程有密切聯(lián)系，見文獻[17-18]以及相關(guān)文獻。本文的目的是在高維空間中適當?shù)募訖?quán)測度意義下建立問題(1)～(3)解發(fā)生爆破時爆破時間下界的估計，并給出應(yīng)用舉例。