具有分級感染率的時滯SLARS網絡病毒傳播模型穩定性分析

楊遠航

（安徽財經大學管理科學與工程學院，安徽蚌埠233030）

目前，計算機網絡和信息技術在各行各業及日常生活中廣泛應用[1]，但隨著其應用范圍的不斷擴大，網絡病毒的傳播也帶來更大的破壞力和經濟損失，嚴重影響人們的工作和生活。為了有效控制網絡病毒的傳播，國內外學者提出了不少基于傳染病模型建模原理的網絡病毒傳播模型，如SEIR 模型[2-3]、SEIRS模型[4-5]、SEIQRS模型[6-7]，但是這些模型均假設處于潛伏狀態的節點不具有傳染能力，然而在現實生活中，潛伏狀態的節點也可以通過移動存儲設備將其中的病毒傳染給其他節點[8]。在這種情況下，文獻[9]提出了具有分級感染率的網絡病毒傳播模型：

其中τ為恢復節點再次被感染所需要的時間周期引起的時滯。

1 有病毒平衡點穩定性分析

系統(2)在病毒平衡點E( S*,L*,A*,R*)處的線性化部分：

其中，a11=-β1L*-β2A*-μ，a12=-β1S*，a13=-β2S*，a21=β1L*+β2A*，a22=β1S*-ε-μ，a23=β2S*，a32=ε，a33=-γ-μ，a43=γ，a44=-μ，b14=α，b44=-α。

系統(3)的特征方程為

成立，則模型(2)的有病毒平衡點E( S*,L*,A*,R*)是局部漸近穩定的。當τ ＞0 時，假設λ=iω( ω ＞0 )為特征方程(4)的根，整理特征方程的實部和虛部可得：

進一步整理方程組可得：

對方程(4)的等號兩端τ進行求導，得到：

綜上所述，結合Hopf分支定理[9]得到：對于模型(2)，如果成立，則當時，模型(2)的有病毒平衡點E是局部漸近穩定的；當τ=τ0時，模型(2)在有病毒平衡點E( S*,L*,A*,R*)處產生Hopf分支。

2 仿真示例

為了驗證上述理論推導的正確性，給出如下仿真，參數值：μ=0.001，β1=0.1，β2=0.15，α=0.05，ε=0.05，γ=0.02，模型(2)的示例模型如下：

利用Matlab軟件可以計算得到系統(6)存在唯一有病毒平衡點E(0.1116,0.207 3,0.4936,0.1936)，進一步計算得到ω0=0.940 4，τ0=24.25。根據上述結論，當τ=20.75，即τ ＜τ0時，模型(6)是局部漸近穩定的，其仿真效果如圖1所示；當τ=28.75，即τ ＞τ0時，模型(6)失去穩定并產生局部Hopf分支，其仿真效果如圖2所示。

圖1 τ ＜τ0時穩定

圖2 τ ＞τ0時失去穩定并產生Hopf分支

3 結 論

考慮到恢復節點因為裝有反病毒軟件而具有一定的臨時免疫期，基于文獻[9]中的SLARS網絡病毒傳播模型，本文提出了一類具有臨時免疫期時滯的SLARS病毒模型。經過模型推導，根據赫爾維茨穩定性判據得到模型局部漸近穩定和產生Hopf 分支的充分條件，該結果是對文獻[9]研究工作的適當補充。研究結果表明，在一定條件下，當時滯時，模型局部漸進穩定，有利于對網絡病毒傳播的控制。當時，模型將由穩定狀態變為不穩定狀態，并在有病毒平衡點處產生Hopf分支。此時網絡病毒在網絡中的傳播將變得難以控制，因此，在現實網絡中，應該對恢復節點的反病毒軟件進行及時更新和升級，以保證其臨時免疫期盡可能長。