NSD序列加權(quán)和的若干收斂性及其在回歸模型中的應(yīng)用

何其慧

（安徽經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽合肥230059）

隨機(jī)變量加權(quán)和的收斂性對(duì)統(tǒng)計(jì)模型中估計(jì)量的相合性的建立有非常重要作用。因此，研究隨機(jī)變量加權(quán)和的收斂性質(zhì)是非常有必要和有意義的。假設(shè){ ani,1≤i ≤n,n ≥1 }為一常數(shù)陣列，滿足

其中α ＞0。在這一假設(shè)下，很多學(xué)者建立了獨(dú)立場(chǎng)合下的極限定理[1-4]。在相依場(chǎng)合下，文獻(xiàn)[5]利用負(fù)相協(xié)（NA）隨機(jī)變量的指數(shù)不等式將獨(dú)立條件下的結(jié)果進(jìn)行了推廣。

定理A令r ＞1,1≤p ＜2,p ＜α ＜rp，為一同分布的NA 隨機(jī)變量序列并滿足EX =0,E|X|(r-1)β＜其中β滿足假設(shè)常數(shù)陣列滿足（1）式，則對(duì)任意的ε ＞0，都有

文獻(xiàn)[6]在α ＞rp及EX=0,E|X|rp＜∞的條件下將（2）式推廣到ρ*-混合序列。本文將在α ＞rp及EX =0,E|X|rp＜∞的條件下將定理A的結(jié)果推廣到負(fù)超可加相依（NSD）隨機(jī)變量序列，并且在相同的條件下進(jìn)一步得到完全矩收斂性的結(jié)果，另外，還得到NSD序列加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)律。作為主要結(jié)果的應(yīng)用，建立NSD誤差下非參數(shù)回歸模型中加權(quán)估計(jì)量的強(qiáng)相合性，所得結(jié)果亦改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的相關(guān)結(jié)果。本文用C 代表正的常數(shù)，在不同的地方可以取不同的值；I(A)為事件A 的示性函數(shù)；a+=aI(a ≥0)且a-= -aI(a ＜0)。

1 相關(guān)定義、引理

定義1[8]稱隨機(jī)變量是NA 的，如果對(duì){ 1,2,…,n }的任意非空不交子集A 與B 都有其中f1與f2是使上式有意義且對(duì)各變?cè)獑握{(diào)非降的函數(shù)。若對(duì)≥2,X1,X2,…,Xn是NA的，則稱隨機(jī)變量序列是NA的。

定義2[9]隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xn)稱為NSD的，如果其中X1*,X2*,…,Xn*相互獨(dú)立且對(duì)每個(gè)1與Xi有相同的分布是使得上式期望存在的超可加函數(shù)。如果對(duì)任意n ≥1，(X1,X2,…,Xn)為NSD的，則稱隨機(jī)變量序列是NSD的[10-12]。

定義3[13]稱隨機(jī)變量序列完全收斂于一個(gè)常數(shù)C，如果對(duì)任意的ε ＞0，都有

定義4[14]設(shè)隨機(jī)變量序列則稱為完全矩收斂于0。

引理1[9]設(shè)隨機(jī)變量為NSD。若為單調(diào)非降（或非增）函數(shù)序列，那么仍為NSD。

引理2[9]令是均值為0的NSD隨機(jī)序列。若存在q ≥2使得對(duì)所有的i ≥1都有則

2 定理及證明

定 理1令r ≥1,1≤p ＜2,α ＞rp，為 一 同 分 布 的NSD 隨 機(jī) 變 量 序 列，且 滿 足假設(shè)常數(shù)陣列滿足（1）式，則對(duì)任意的ε ＞0,（2）式成立。

證明由于ani=故不失一般性，設(shè)ani＞0。由不等式，對(duì)任意的0 ＜s ＜α,都有對(duì)給定的n ≥1及1≤i ≤n，記

由引理1可知，{ Yni(1),1≤i ≤n,n ≥1 }仍然是NSD隨機(jī)變量。易見

從而I1＜∞得證。對(duì)于I2，先證明事實(shí)上，由零均值的假設(shè)，以及控制收斂定理，可得

從而當(dāng)n充分大時(shí)，對(duì)任意的ε ＞0，都有

下面證明I2＜∞。假設(shè)r ＞1，取q ＞其中p ＜s ＜min則由(3)式、Markov不等式、引理2、Cr不等式及Jensen不等式，可得

由Yni（1）的定義可知由的證明可知取0 ＜t ＜rp，可以驗(yàn)證

下面證明I22＜∞。注意到等

若r=1，則始終都有α ＞p=rp。因此，不失一般性，假設(shè)p ＜α ＜2，類似r ＞1 的證明，取q=2,即有當(dāng)r=1時(shí)，證明過程類似I21，可證I2＜∞。

定理2令r ≥1,1≤p ＜2,0 ＜τ ＜rp ＜α為一同分布的NSD 隨機(jī)變量序列，且滿足EX=0,E|X|rp＜∞。假設(shè)常數(shù)陣列滿足(1)式，則對(duì)任意的ε ＞0,有

證明這里仍不失一般性地假設(shè)ani＞0。注意到

由定理1可得J1＜∞。因此要證明(4)式，只需要證明J2＜∞。對(duì)任意t ≥1，記

同樣由引理1可知，{ Zni(1),1≤i ≤n,n ≥1 }仍然是NSD隨機(jī)變量。易得

類似I1的證明，可得

對(duì)于J22，先證明由零均值的假設(shè)，|ani|≤Cn1α,E|X|p＜∞以及控制收斂定理，可得

因此當(dāng)n充分大時(shí)，對(duì)任意的t ≥1都有

類 似 定 理1 中I2的 證 明，同 樣 先 考 慮r ＞1 的 情 況，取p ＜s ＜min及q ＞max由(5)式、Markov不等式、引理2、Cr不等式及Jensen不等式可得

由J21的證明可得

由J21的證明，可得

類似地，若r=1，則有α ＞p=rp。因此，同樣可以假設(shè)p ＜α ＜2，類似r ＞1 的證明，取q=2，即有完全類似J23的證明，可證明在r=1的情況下也有J22＜∞。

注1注意到

由ε ＞0的任意性可知，定理2是比定理1更強(qiáng)的結(jié)果。

定理3令1≤p ＜為一同分布的NSD隨機(jī)變量序列，且滿足EX=0,E|X|p＜∞。常數(shù)列滿足其中α ＞p，則

證明在定理1中取r=1,ani=ai，可得

下面給出定理1的一個(gè)應(yīng)用。

定理4假設(shè)條件(A1)～(A3) 成立。令為 同 分 布 的NSD 隨 機(jī) 誤 差，使 得

證明類似文獻(xiàn)[12]中(3.7)式的證明，可以由條件(A1)～(A3)推出故只需證明在定理1 中取其中1≤i ≤n,n ≥1，即可得證。

注2 文獻(xiàn)[7]也建立了NSD 誤差下的相應(yīng)結(jié)果，其中需要的條件為及由柯西不等式知故 上 式 成 立 只 能 取p ＞1。 注 意 到及定理4中p可以取到1，所以定理4改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。

3 結(jié) 論

本文利用NSD隨機(jī)變量的極大值矩不等式及截尾方法，建立了NSD序列加權(quán)和的完全收斂性、完全矩收斂性及加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)律，推廣并改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果，具有一定的理論價(jià)值和實(shí)際意義。作為應(yīng)用，本文得到了NSD誤差下非參數(shù)回歸模型估計(jì)量的強(qiáng)相合性，此結(jié)果也改進(jìn)了相應(yīng)文獻(xiàn)的結(jié)果。