由兩端彈性支承的對稱梁導出對稱簡支梁的多項式型位移函數

何 敏，江燕燕，黃 忠，周清卿，王其申

（安慶師范大學物理與電氣工程學院，安徽安慶246133）

2001年，Elishakoff等針對功能梯度梁的橫向振動問題，提出了一種新穎的解法[1-2]。此后，王其申研究了任意支承桿模型[3]，吳磊等研究了簡支梁[4]和懸臂梁[5]這兩類單跨梁，王其申等進行了相關問題綜述[6]。對于多跨梁結構，文[7]研究了一類兩跨梁模型，文[8]研究了兩跨外伸梁模型，文[9]研究了對稱簡支梁模型。本文由兩端彈性支承的對稱梁出發，最終導出對稱簡支梁的多項式型位移函數。

長為L的梁的橫振動無量綱動力學方程：

對于兩端彈性支承對稱梁，參考文[10]，有下列邊界條件：

其中，h是約束梁兩端線位移的拉伸彈簧剛度，β是約束梁兩端角位移的扭轉彈簧剛度。

下面計算兩端彈性對稱梁的多項式型位移函數。要滿足條件（2）式，對于基模態（也稱第一階模態或不含節點的對稱模態），可以把位移多項式取為4次多項式；對于第二階模態（也稱含單節點的反對稱模態），可以把位移多項式取為5次多項式，還要滿足約束條件W()=0。令

這里，上標sy表示對稱振型，上標as表示反對稱振型。解得滿足邊界條件的位移多項式是：

經過化簡，（4）式可以化為如下的多項式型函數：

此結論與文[9]完全一致。而對于兩端固定的對稱梁，需要滿足極限條件h →+∞, β →+∞，則（4）式中的系數N →+∞，這是不能成立的。因此，可以由對稱多項式型函數（5）式導出對稱簡支梁的多項式型位移函數，但不能導出兩端固定對稱梁的多項式型位移函數，這反映了這個模型具有局限性。

本文計算結果表明：由兩端彈性支承的對稱邊界條件，可以構造兩端彈性支承對稱梁的多項式型位移函數，它包含了對稱簡支梁的位移函數。文章計算的基模態和第二階模態下兩端彈性支承梁的多項式型位移函數，在相差一個常數因子的條件下，位移函數是唯一的。