關于Sturm-Liouville問題第一特征值的一個高精度近似公式的探討

王 鈺，唐巨鵬

（遼寧工程技術大學力學與工程學院，遼寧阜新123000）

Sturm-Liouville特征值問題是物理學特別是力學中經常遇到的著名的特征值問題。對于變系數的Sturm-Liouville特征值問題，哪怕是在最簡單的第一類齊次邊條件下，也稀有精確解。因此，對于大量實際應用中遇到的Sturm-Liouville特征值問題，人們只能借助于近似解。由此，引發了有關尋求高精度近似解的研究，文[1]第二章研究的是采用攝動法尋求Sturm-Liouville特征值問題的近似特征值，導出了一個確實有效的高精度近似公式，亦即該書第2章的（2.3.15）式。此式顯然包含兩個部分，由這兩個不同部分可以分別引伸出兩個公式，本文將其稱之為一對孿生公式。該書著者僅僅推薦了這對孿生公式中的一個，本文給出另一個公式的推導及應用。

1 Sturm-Liouville問題的第一特征值的高精度近似計算公式的導出

考慮如下具有第一類齊次邊條件的Sturm-Liouville特征值問題[2-4]：

這里，p(x)，r(x)和q(x)是定義在區間[0,1]上的充分光滑的函數，假設滿足0 ＜p-≤p(x)≤p+，0 ＜r-≤r(x)≤r+，0 ≤p(x)≤q+，其中p-，p+，r-，r+和q+都是常數。這些條件保證了問題（1）的所有特征值全是正數。導出問題（1）的第一特征值λ1的高精度近似公式的步驟如下[1]：

第一步，利用力學中的常見近似解法，例如Rayleiph-Ritz法[5]，獲得問題(1)的一個第一特征值的過剩近似值λ*1。繼而考察Sturm-Liouville方程的如下Cauchy問題：

將其解記為u=V1()。求出V1(x,λ*1)在區間(0,1]上的零點(0,1]，即V1()=0，0 ＜≤1。對于這里的，文[1]指出它有如下性質：（1）相當接近于1；（2）當且僅當λ*1=λ1時，才有=1。同時，文[1]證明了下述定理：

定理1考慮新的Cauchy問題：

從定理1出發[1]，采用迭代法求出第一特征值的精確近似值，但收斂速度很慢。因此有：

“′”表示相應函數對變量y的導數。因為ξ=1-ε，問題(4)中方程的系數都可以展成ε的冪級數：

按照攝動法，為了尋求問題(1)的第一特征值和相應的特征函數，同樣應將問題(4)中的U(y,ε)和Λ展開為ε的冪級數：U()≡(y)+(y)+…，++…。把這些展開式代入問題(4)，比較ε的各階同冪次項系數，得到一系列邊值問題。特別的，當ε=0時，有：

這里已經利用了問題（5）的結論。

按照Sturm-Liouville 特征值問題的有關理論[2]，要使問題（6）有解，問題（6）中方程的右端項必須與問題（5）的解正交，即

利用這一條件，可以計算作為第一特征值的零級近似Λ(0)1=λ*1的一級修正項的系數Λ(1)1：

第三步，導出第一特征值的高精度近似計算公式。

將（8）式分成3項，通過分部積分，最終可以得到：

以此代入Λ的級數展開式，得到原問題（1）的第一特征值的一級近似解：

這就是文獻[1]中所給出的高精度近似計算公式(2.3.15)。

2 關于公式（10）的討論

為了方便討論，把（10）式改寫成兩個式子：

和

注意到在實際應用中，ξ ≈1，因此，（10b）式的實際應用形式是

而（10a）式的實際應用形式則是

這里λ1*=因為同出于（10）式，本文將（12）式稱之為（11）式的孿生公式。為了說明孿生公式（12）的應用價值，在解釋其含義和理論基礎之前，先看兩個例子。它們均來自于文獻[1]的2.5.1分節。

例1考察Sturm-Liouville特征值問題

解對于(x)=sin使用Rayleigh-Ritz法，得到第一特征值λ1的過剩近似值λ1≤λ*1=5.338 27。

例2考察Sturm-Liouville特征值問題+λ(1+x2)-2u=0，u(0)=u(1)=0。

解這一問題存在解析解：λ1=15，u1(x)=2x(1-x2)。

3 討 論

參考上面的兩個例子，對于孿生公式（12），可以指出以下事實：

1）孿生公式（12）的確可以作為進一步迭代出發點的高精度近似公式加以使用。從計算量來看，比較（11）式和（12）式不難發現，這兩個公式中的第二項完全相同，而這一項所需的計算量最大；兩個公式中的第一項不同，其相應的計算量相差微乎其微。從計算精度來看，正如例1顯示的那樣，在其計算結果為過剩近似值的情況下，采用公式（12）所獲得的結果的精度還優于公式（11）。這并不奇怪，因為兩個公式中的第一項的差別是

2）從理論上，公式（11）可以解釋為從λ1的過剩近似值λ*1出發，通過負向修正來獲得它的更為精致的近似值λ(1)1。公式（12）則不同，當λ1*=λ*1ξ2是λ1的下界時，公式（12）可以進一步改寫為

由此可以給出公式（12）的理論解釋是：從λ1的不足近似值λ1*出發，通過正向修正來獲得它的更為精致的近似值λ(1)1。

需要說明的是：正如文獻[1]的2.5.1分節中的例3所顯示的那樣，無論公式（11）抑或公式（12），都是先要判斷λ1*=是不是λ1的下界，然后才有必要考慮使用哪個公式。鑒于此，上文假設λ1*=是λ1的下界是合理的。

3）遇到使用公式（11）或（12）進行計算所得結果是不足近似值的情況，如例2那樣，可以對（11）式或（12）式進行修正來解決這個問題。事實上，公式（11）和（12）分別是在公式(10a)和(10b)中令ξ=1而得到的。因此公式(10a)和(10b)也可以寫成下列形式：

在例2中，采用公式（11′），計算結果是λ(1)1=15.002 69；采用公式（12′），計算結果是λ(1)1=15.001 52。采用這兩個新的替代公式得到過剩近似值毫不奇怪，而這兩個結果的精度都優于采用公式（11）的結果，這是值得注意的。