一類具有非局部項的拋物方程在Sobolev 空間的能控性

曾曦,莫玉玲,鄧紫娟,劉潔,周秀香

(嶺南師范學院數學與統計學院, 廣東湛江524048)

1 引言

給定T>0.設Q=(0,1)×(0,T).考慮如下一類具有非局部項的拋物型偏微分方程

這里a∈R(a0),y是狀態函數, 給定函數b∈L2(0,1), 控制函數u∈L2(0,T), 并且y0∈L2(0,1) 是初始條件.從而, 方程(1.1) 存在唯一的解y∈L2(Q).系統(1.1) 主要用來描述一類含有關于時間的非局部反應項的擴散現象[1,2], 在物理、生物、天文、信息等領域有著廣泛的應用.

當a=0 時, 系統(1.1) 是經典拋物型偏微分方程, 它是近似能控且零能控, 這是一個熟知的結果.因此, 本文主要討論的問題是系統(1.1) 的近似能控性和零能控性.首先, 給出相關定義.

定義1.1對于任意y0,y1∈L2(0,1) 和ε>0, 存在控制u∈L2(0,T) 使得(1.1) 相應的解y滿足則稱系統(1.1) 在T時刻近似能控.

定義1.2對于任意y0L2(0,1), 存在控制u∈L2(0,T) 使得系統(1.1) 相應的解y滿足y(x,T)=0 a.e.x∈(0,1), 則稱系統(1.1) 在T時刻零能控.

關于這類系統的能控性問題已有一些相關的討論[3?6].2000 年, Barbu 和Innelli[7]得到了如下具有二階導數記憶項的系統的內部近似能控性

為了應用Laplace 變換給出對偶系統解的表達式, 需要假設記憶核a滿足一定的條件.在文獻[8]中, 作者給出了記憶核a≡1 時, 受控系統(1.2) 在L2(0,1) 空間中不零能控.隨后,Halanay 和Pandolfi[9]將近似能控性和不零能控兩個結果推廣到一般記憶核的情況.以上討論的結果都是建立在內部控制或者邊界控制的基礎上.2018 年, 文獻[10]討論了在施加雙線性控制下系統的零能控性, 利用對偶理論、泰勒展式和反證法得出當系統施加雙線性控制時, 系統(1.1) 在L2(0,1) 空間中不零能控.即存在初使條件y0∈L2(0,1) 使得對于任意控制u∈L2(0,T), 系統(1.1) 相應的解y在時刻T都不能達到目標零.那么一個自然的問題是,這樣的結論在相對較小的Hm空間中是否成立呢? 本文給出了明確的答案.另一方面, 利用對偶原理給出在施加雙線性控制下的近似能控性的充分必要條件, 它恰好是不零能控性的充分條件.

全文分為四部分, 第二部分給出控制系統關于近似能控性和零能控性的兩個主要結果；第三部分主要應用對偶原理將近似能控性轉化為相應對偶系統的唯一延拓性, 并得到相關結果；第四部分利用泰勒展式和反證法證明控制系統不零能控.

2 主要結果

為了給出主要結果, 先引入一些記號.設

則{ωj}j≥1構成空間L2(0,1) 中的一組正交基.系統(1.1) 的對偶系統如下

引理2.1設則對偶系統(2.2) 的解可以表示為

其中

證由于?T∈L2(0,1), 因此存在{βj}j≥1∈l2使得又由于系統(2.2) 的解?∈L2(0,T;L2(0,1)), 因此可以表示為

解線性方程組得

因此

令

于是方程(2.2) 的解可以表示為

引理2.1 得證.

對于任意給定m∈N, 定義Sobolev 空間

顯然H0(0,1)=L2(0,1), 并且Hm2(0,1)?Hm1(0,1),?m1≤m2.全文設C為只與T有關的常數.主要結果是下面的兩個定理.

定理2.1下面三種陳述等價

(i) 系統(1.1) 在T時刻近似能控;

(ii) 設?是對偶系統對應于?T的解, 則

定理2.2任意給定m∈N, 設則存在初值y0∈Hm(0,1) 使得對于任意u∈L2(0,T), 系統(1.1) 相應的解都不滿足

注定理2.2 中的條件不能去掉, 因為它與近似能控性等價.

3 定理2.1 的證明

證 第一步證明(i) 與(ii) 等價.

充分性要證明的結論是系統(1.1) 的近似能控性.不失一般性, 假設y0(x)≡0.由文獻[10]可得

設能達集R(T)={y(·,T) |y是系統(1.1)中對應于u∈L2(0,T)的解}.由定義可知, 系統(1.1) 在T時刻近似能控當且僅當R(T) 在L2(0,1) 中稠密.采用反證法, 假設系統(1.1)在T時刻不近似能控, 則R(T) 不在空間L2(0,1) 中稠密, 由Hahn-Banach 定理得, 存在使下式成立

由(3.1) 式可得

因此?T=0, 這與假設?T的選取產生矛盾, 故假設不成立, 充分性得證.

必要性設

由(3.1) 式可得

第二步證明(ii) 與(iii) 等價.

充分性假設

由(ii) 可知, 只需要證明βj=0,?j≥1 即可.將(2.4) 式代入(3.2) 式得

從而

必要性假設存在j0∈N, 使得bj0=0, 則利用充分性的證明過程得不到βj0一定為0,故這與條件矛盾, 所以必要性得證.故(ii) 與(iii) 等價, 綜上定理2.1 得證.

注這一結論與經典拋物方程(a=0) 相同.

4 定理2.2 的證明

證 第一步構造對偶系統(2.2) 終端時刻的是一個充分大的正整數值.任意給定正整數m, 設是一個正整數.令正整數是一個充分大的正整數, 且

并且

聯立(4.1) 和(4.2) 式是關于N個未知數個方程的代數方程組, 所以存在界與M無關的解進一步, 由引理2.1 得, 方程(2.2) 的解為

其中

第二步給出系統(1.1) 零能控的充要條件.由文獻[10]可得, 系統(1.1) 在時刻T零能控的充要條件是, 對于任意y0∈L2(0,1) 存在控制u∈L2(0,T), 使得下述的等式成立

其中?是對偶系統(2.2) 對應于?T的解.

第三步估計(4.4) 式的左端.由(4.3) 式可得

記上式最后兩項分別為2E1,2E2.注意到從而

從而結合(4.5) 式和(4.6) 式并分部積分可得

于是存在一列關于t的函數使得

由上式及(4.2) 式可得

由(4.7) 和(4.8) 式可得

第四步估計(4.4) 式的右端.注意到

進而由(4.4) 式可得

故存在1≤k0≤N使得

第五步構造適當初值得到結論, 即定理2.2.取則2δ?2m>1.于是

設Nl+k0=NM+k, 即N(l?M)=k?k0.由|k?k0|

假設(1.1) 在時刻T零能控, 則由證明的第二步可得, 存在u∈L2(0,T) 使得

也就是說, 存在于M無關的兩個常數C1,C2使得

只要2+δ