Victor-Carmen 混沌系統的有限時間滑模同步

毛北行

(鄭州航空工業管理學院數學學院, 河南鄭州450015)

1 引言

混沌系統的同步控制逐步成為研究的熱門課題[1?12], 而利用滑模控制方法研究同步逐漸成為研究不確定性系統的便捷方法, 并取得了豐富的成果.主動滑模方法, 自適應滑模方法, 積分滑模方法及比例積分滑模方法, 有限時間滑模方法, 模糊滑模等方法被相繼提出.例如: 文獻[13]利用主動滑模方法研究了一類混沌系統的同步控制問題, 實現了驅動響應系統的主動滑模同步控制; 文獻[14]研究了分數階Van der pol 振子網絡的混沌同步; 文獻[15]基于自適應滑模方法研究分數階參數不確定系統的異結構混沌同步; 文獻[16]研究Rssler 混沌系統的自適應滑模控制問題; 實現了對Rssler 混沌系統的同步控制; 文獻[17]利用積分滑模滑模方法研究航天器的姿態容錯控制; 文獻[18]利用有限時間滑模方法研究了多渦卷混沌系統的同步.

另一方面, Victor-Carmen 混沌系統的同步激起眾廣大學者的極大熱情, 例如: 文獻[19]研究了Victor-Carmen 混沌系統的投影同步問題; 文獻[20]基于自適應滑模方法研究了分數階Victor-Carmen 混沌系統的自適應滑模控制問題.在以上研究的基礎上, 研究Victor-Carmen 混沌系統的有限時間滑模同步問題, 設計新型滑模面, 能夠使誤差動態系統有限時間內收斂到滑模面, 較大提高了滑模同步的效率.

2 系統描述及主要結果

考慮Victor-Carmen 混沌系統[20]

其中x1,x2,x3∈R3為狀態變量;c,b,α,β,γ為常值參數.當α=50,β=20,γ=4.1,c=5,b=9 時出現怪異吸引子, 其軌相圖如圖1 所示.

圖1: Victor–Carmen 混沌系統的相軌圖

從系統設計為

其中?fi(y)(i=1,2,3) 為不確定項,y=[y1,y2,y3]T,di(t)(i=1,2,3) 為外部擾動.

假設1設不確定項?fi(y) 和外部擾動di(t) 有界.即存在常數mi,ni>0, 使得

定義系統誤差ei=yi?xi(i=1,2,3), 很容易得到誤差方程

引理1[21]假設存在連續正定函數V(t) 滿足微分不等式

式中p>0,0<η<1 是兩個正常數.則對于任意給定的t0,V(t) 滿足如下不等式

并且V(t)≡0,t≥T, 其中

定理1在假設1 條件下, 構造滑模函數控制律

其中ki>0(i=1,2,3,4,5), 則系統(2.3) 將在時間T內收斂至切換面si=0, 其中

證構造函數從而得到

由引理1 滑模面具有可到達性.

定理2構造滑模函數則該滑模動態系統漸近穩定并且收斂到坐標原點, 其中

證滑模面上運動時得到

由于

定理3若滿足假設1, 構造上述滑模函數和控制律, Victor-Carmen 混沌系統的主從系統(2.1) 與(2.2) 是有限時間滑模同步的.

證當不在切換面上運動時, 根據定理1 可知滑動模態系統可以被驅動到滑模面, 即滑模面具有可達性; 在切換面上時, 根據定理2 可得系統漸近穩定, 從而ei→0 , 從而具有穩定性.所以(2.1) 與(2.2) 就取得有限時間滑模同步.

3 數值仿真

系統參數選取如上, 定理中系統的誤差曲線如圖2 所示, 圖中可以看到, 初始時刻系統誤差距離原點較遠且相差較大, 隨時間推移系統誤差漸趨一致, 逐漸趨近于坐標原點, 表明系統取得了同步.圖中看出一段時間以后系統達到混沌同步, 當時間T時刻以后, Victor-Carmen 混沌系統的主從系統(2.1)與(2.2)達到滑模同步的.時間T可由公式來推算.它給出了時刻T大小估計.若選取為傳統的等速趨近律求得從而需要更長的時間才能趨于同步.

圖2: 定理3 中的系統誤差曲線

4 結論

基于新型滑模方法研究Victor-Carmen 混沌系統的有限時間同步, 取得Victor-Carmen混沌系統的主從系統達到有限時間滑模同步的充分條件, 從數學角度給出了嚴格證明和邏輯推理, 通過數值仿真檢驗方法的合理性和正確性.