中學數學導數的幾何意義和物理意義研究

■史宇軒(導師：李發明)

1.導數的物理意義和幾何意義

數學和物理中都提到導數的概念，兩者提到的導數一個側重計算，一個側重實際應用。為了更深入研究導數的物理意義和幾何意義，我翻閱了同濟大學的高等數學，從網上查閱了資料，得出：導數(Derivative)是微積分中的重要基礎概念，當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df/dx(x0)。

無論該函數圖像是直線還是曲線，導數都是函數在一個點的斜率或者說是瞬時變化率。對于直線求某點的導數即求該點的斜率，有多種常規求解方法。對于曲線需要采用局部先行逼近。常規的求解方法是根據定義：(1)求y的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)。(2)計算y的增量和x增量的比值。(3)求極限。例如，常數的導數是0，即y=9，y'=0，可知y=9的直線的變化率為0。可以通過上述三步求得。

導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。因此，導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。例如，在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

2.導數的實際應用

例如，一輛汽車在10h內走了600km，那么它的平均速度是60km/h。但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不一定都是60km/h。為了更好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關系為s=f(t)，那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是。當t1無限趨近于t0時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就近似等于t0時刻的瞬時速度，因而就把此時的極限作為汽車在時刻t0的瞬時速度，即，這就是通常所說的速度。這實際上是由平均速度類比到瞬時速度的過程(如我們駕駛時的限“速”指瞬時速度)。

結論：(1)查看了文件并借閱了同濟大學的高等數學1，通過查閱文獻得知，函數在一點處的導數的幾何意義為曲線在該點處的切線的斜率。

(2)函數在一點處的導數的物理意義：一階導數的物理意義隨不同物理量而不同，但都是該量變化的快慢函數，既該量的變化率，是函數的切線。如對位移求導就是速度，速度求導就是加速度(即對位移求2次導數)，對功求導就是功的改變率等。或者說一階導數是自變量的變換率，二階導數是一階導數的變換率。一階導數大于0，則遞增;小于0，則遞減;等于0，則不增不減。

在一個具體的運動過程中，若已知位置X隨時間t的變化函數X(t)，那么速度就是X對t的一階導數，即。將V對t的一階導數，叫作瞬時加速度a，即對t的一階導數即X對t的二階導數)。

通過導數與物理、幾何、代數的關系(在幾何中可求切線，在代數中可求瞬時變化率，在物理中可求速度、加速度)，將各個不同學科所學知識結合到一起，并應用于生活實踐中，培養了我們的探索能力、創新能力，讓我們更加懂得學習的意義。