小學數學單元整理復習課的設計與思考
——以《圓的整理和復習》為例

?沈國祥

單元的整理復習課是小學數學課堂中屬于比較獨特但又相對重要的一類課型。獨特是因為這類課既區別于新授課時充滿好奇心和求知欲，又不同于練習課時內容單一和具有針對性。這類課既要將整個單元涉及到的知識點進行梳理和回顧，完成知識建構，厘清知識間的關系，還要進行一定程度的拓展和延伸，在已有的基礎上有所突破，使學生有新的收獲。因此，我覺得單元的整理復習課要承載起兩個教學目標：一是整理，完整的梳理是這類課型不可推托的一種“使命”。只有在這類課中，學生才能以一種“會當凌絕頂”的視野和格局來看一個知識板塊。二是復習，知識的應用是這類課型需要完成的“任務”。

下面以人教版(2013)數學六年級上冊第5單元《圓的整理和復習》為例，談談對整理復習課在設計、實施、反思、改進等方面的想法。

一、經歷知識整理，學會學習

2016年9月，我國發布了《中國學生發展核心素養》，其中在“自主發展”中特別提到學生應具備的關鍵能力——學會學習，能養成良好的學習習慣，掌握適合自身的學習方法；能自主學習，具有終身學習的意識和能力等。對于單元整理復習課來說，有必要讓孩子去經歷知識回顧和整理的過程，用自己喜歡的方式去架構相對完整的知識體系，建立知識間的聯系，培養孩子“學會學習”的能力，為以后的學習發展打下基礎。

課堂教學實錄片段1：知識整理

師：……課前，老師先讓同學們自己進行了整理。誰愿意上來分享你的整理。

師：說說你是從哪幾方面進行整理的？

生1：我們學了圓的半徑、直徑、周長、面積和圓環。(介紹半徑、直徑概念及其關系，圓周長、面積公式，圓環面積公式)

師：你有這樣整理嗎？能不能給大家展示一下，從哪幾方面進行整理的？

生2：我是從半徑、直徑、圓心，然后扇形、圓心角，最后圖形之間的關系。(介紹相關概念以及計算公式。)

師：通過這樣的整理，你有什么收獲嗎？

生3：這樣條理更清晰一些。

師：誰還愿意上來分享？

……

在實際教學過程中，可以看出六年級的孩子已經掌握了基本的知識整理方法，如網絡圖、表格等。但從學生的反饋可以看出，因為缺少一定的指導，整理的方式大致都屬于知識的簡單羅列。缺少對知識之間關系的理解，也無法體現結構性。這樣的整理方式，對處在小學畢業班的孩子來說，是遠遠不夠的。

那么如何指導學生進行單元知識梳理呢？我覺得可以嘗試兩種形式：一是有意識的指導，給學生以范例，明曉知識整理的方法和意義，讓知識體現結構和關系；二是鼓勵多維思考，給學生以空間和時間，允許知識整理方法的多樣化。有了這樣的參考和鼓勵，我想作為即將畢業的孩子，會在以后的學習中逐漸養成良好的學習習慣，掌握適合自身學習的方法，具備“樂學善學”的品質和能力。

二、架構知識體系，溫故知新

(一)旋轉中想象，完善認知 關于圓的定義，一般有幾何說、軌跡說和集合說三種。學生在學習圓規畫圓時，往往關注的是畫圓的方法，而忽略圓產生的過程。因此我從圓規畫圓起始時留下的兩個點開始引入。通過想象，讓學生體會平面上一個動點以一個定點為中心，一定長為距離旋轉360度形成的軌跡就是圓周。將靜止的圓轉換成動態的形成過程，加深學生對于圓的認知。同時通過轉換定點與動點的位置，感悟影響圓位置和大小的要素。通過點的運動軌跡和線段的運動軌跡，感悟“點動成線”和“線動成面”的現象，培養想象能力。在這個環節的學習中，學生表現出強烈的好奇心和求知欲，重新燃起對知識的學習熱情。

課堂教學實錄片段2：圓的復習

師：這個單元，同學們還學會了一種新的工具，是什么？用來干嗎？你們都會使用圓規畫圓了嗎？(回顧畫圓。)

師：想一想，如果針尖和筆尖定在紙上后不畫，紙上會留下什么？

生1：紙上會留下兩個點。

師：給這兩個點命名點O和點A。

想像一下，畫圓的時候，這兩個點其實是怎樣在運動？

生2：以O為中心，A繞O繞一圈。

師：繞一圈，是繞多少？

生2：360度。

師：哪個點的運動軌跡會形成一個圓？

生3：是點A的運動軌跡形成了一個圓。(課件演示。)

師：現在想想圓規畫圓其實是怎么回事？

生4：其實就是一個點繞著另一個點旋轉360度，這個點的運動軌跡就是一個圓。

……

因為借班上課，學生之前并沒有接觸過“旋轉”，但這樣的設計，學生以一種新的角度認識圓規畫圓的本質，不再關注畫的“結果”，而是畫的“過程”，從靜止的圖形到動態的想象，讓孩子第一次對圓的產生過程有了新的發現。這種發現，讓孩子的學習積極性得到了極大的提升，復習課也不再變得枯燥乏味，而是一場新的“求知之旅”。

(二)旋轉中感悟，建立聯系 扇形在教學時雖然是獨立的課時，但不應該孤立的去認識。扇形是圓的一部分，需要建立兩者之間的關系。因此在這個環節的設計中，通過半徑繞圓心旋轉不同的角度，想象形成圖形的特點，在動態過程中加深對扇形的認識。同時滲透極限思想，當旋轉角度超過180度甚至到達359.9度時，半徑繞圓心的軌跡依然是一個扇形。通過課件的演示，逐漸讓學生感悟扇形與圓兩者的區別和聯系，為理解1/2圓、1/4圓等周長、面積的相關計算方法作出解釋。

課堂教學實錄片段3：扇形的復習

師：半徑OA繞點O旋轉幾度會形成一個圓面？

生1：360度。

師：如果不到360度呢？

生2：不到360度是一個扇形。

師：旋轉90度，形成的是一個？

生3：形成一個1/4圓。(課件演示。)

師：旋轉180度呢？

生4：形成一個1/2圓。(課件演示。)

師：旋轉270度呢？一起說。

生：3/4圓。

師：繼續往下旋轉，旋轉到359度呢？

生：還是一個扇形。

師：怎樣的一個扇形？

生5：359/360圓。

師：用了一個數據來描述。能想象一下嗎？

生5：就是很接近很接近一個圓的扇形。

……

教學中，讓學生想象半徑繞圓心O旋轉，半徑掃過軌跡形成的圖形。學生的想象進一步得到提升，并且在不斷的旋轉過程中，發現形成扇形與圓的關系，感悟扇形是圓的一部分。同時在旋轉中，對影響扇形面積大小的因素也有了進一步的認識。這樣的設計，更加注重知識間的變化過程和內在聯系，而不是將單元的知識點進行割裂，使知識的復習更有結構性和系統性。

(三)旋轉中提升，溫故知新 如果說前面的設計已經給孩子的想象插上了“翅膀”，那在這里就讓孩子們飛得更過癮一些。所以，在這個環節中，設計一把“另類”的圓規(一個針尖，兩個距離不同的鉛筆尖)，讓孩子們在已有的基礎上繼續想象。同時研究在旋轉中影響圓環面積大小的因素：兩個動點的位置關系、兩個動點各到定點的距離關系等。而當這兩個動點到定點的距離相等時，軌跡則會重合，又重新變成一個圓。這樣的探究設計，對于孩子空間觀念和想象能力的提升是非常有幫助的，也對圓、扇形、圓環三者及其關系有一個全新的認識。

課堂教學實錄片段4：圓環的復習

師：現在如果給你這樣一把圓規，你能畫出什么圖形？

生1：畫出來的是一個圓環。

師：和剛才一樣，如果將針尖筆尖都定在紙上，紙上會留下幾個點？

生：3個點。

師：給這三個點命名為O、A、B，想像圓規畫圓時，這3個點又是怎樣運動的？

生2：我覺得A和B都是繞O旋轉360度的。(課件動畫演示。)

師：如果點A和點B不在同一條直線上，繞點O旋轉，會形成什么圖形？

生3：依舊是一個圓環。

師：如果點A和點B在點O的反方向呢？

生4：還是一個圓環。

師：為什么形成的都是圓環呢？

生5：因為有兩個點在轉，而且兩個點到圓心的距離不相同。

師：什么情況下能得到一個圓？

生6：點A到點O和點B到點O的距離是一樣的情況下。

……

在前面環節中，學生已經經歷了“點動成線”和“線動成面”的想象，如果在這個環節中還是延續前面的設計，學生的想象會出現疲倦，學習的積極性和探究的主動性也會受到影響。因此在這個環節中，需要為孩子建立想象的“梯度”，同時讓孩子在思辨中感悟影響圓環面積大小的因素，并且再次與圓形建立聯系。

(四)開放式整合，發展素養 在拓展環節中，如何將已學的平面圖形進行整合，并且給予學生新的思考呢？我想有兩點：一是突出其他圖形與圓的聯系，二是設計要體現開放性。因此，在這里設計一個組合圖形，通過學生的分析，體會到在與圓相關的組合圖形中，半徑的作用很大，它聯系著其他圖形的相關數據。其次陰影部分的開放性設計，能夠最大程度發揮學生學習的主觀能動性，對學生在“學會學習”、“實踐創新”、“理性思維”、“勇于探究”、“勤于反思”、“問題解決”等一系列核心素養的發展起到積極作用。

課堂教學實錄片段5：組合圖形的復習

師：從這幅圖中，你能找到哪些圖形？

……

師：這些圖形與圓分別有著怎樣的關系呢？

生1：這個三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑。

……

師：這里還有一個要求：求陰影部分的面積，但沒有數據。如果可以告訴你某一條線段的長度，你會選擇什么？

生2：告訴我梯形的下底。

師：為什么？

生3：因為梯形的下底就等于圓直徑的兩倍。

師：你又回到這個圓上去了。

生4：我選擇告訴我圓的半徑。

師：為什么選擇告訴你圓的半徑？

生4：因為告訴我圓的半徑，不管梯形、正方形的面積還是周長，幾乎都能算出來。

……

在結束整節課的教學后，反思自己的設計、課堂執行和學生學習，基本達到了預期的教學目標，但也有很多地方存在不足，有很大的改進空間。如整節課的設計是以“旋轉”為主線，加深學生對于圓、扇形、圓環的認知，除了圓的幾何定義，也對軌跡定義有所了解和感悟，為后續“面動成體”(六年級下冊長方形旋轉成圓柱，直角三角形旋轉成圓錐)作鋪墊。但在三個平面圖形的復習中都以“旋轉”引入分析，在設計上欠缺一些變化，一開始也許能夠調動起學生復習的積極性，但也可能會在重復的想象中失去探究的欲望。

小學數學的整理復習課承擔著較為特殊的任務，特別是在高段，更多地關注對學生學習方法的指導和對知識結構的理解。因此，需要用更為開放、創新的設計來激起學生的探究心理，允許不同層次的孩子有不同的理解，使學生樂意參與到課堂學習中來，體現《數學課程標準》理念，面向全體學生的同時，適應學生個性發展的需要，為學生的終身學習打下良好的基礎。