淺談極限思想在小學數學教學中的滲透

黃俊佳羽

（江蘇省南通市十里坊小學，江蘇南通 226000）

引 言

極限思想是微積分的基本思想。小學數學教材中的“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”這三個方面都涉及極限思想[1]，因此本文重點從這三個方面探討如何在小學數學教學中滲透極限思想。

一、在“數與代數”方面滲透極限思想

（一）認識數的無限性：自然數

小學生最先接觸到“無限”這一概念是從數字開始的。從小學一年級開始，學生首先學習的是20 以內的自然數。雖不能讓學生立即體會到自然數的個數是無限的，但教師可以幫助學生認識到20 以內的數中，后一個數總比前一個數大1。學生陸續通過學習百以內的數、萬以內的數乃至億以內的數，會認識到最小的自然數是0，同時又產生“有最小的自然數，那么有最大的自然數嗎？”的疑問。針對這樣的疑問，筆者會把思考討論的機會留給學生，讓學生說出他們心目中“最大的”自然數，再引導學生思考：你能說出比它還要大的自然數嗎？通過多次的舉例與反駁答案，學生很快能夠意識到自然數是無窮無盡的。無論列舉出多么大的自然數，都有后面的自然數比它大1，即N ＋1＞N，使學生通過自主探索感受自然數的無限性。

（二）認識數的無限性：循環小數化分數

如果說上面的教學是認識及表示數量的“無限”，那么無限循環小數化成分數的過程無疑也映射出“極限”的思想。小學生難以理解0.999…竟和1 相等。大多數人認為，0.999…無論小數點后有多少個9，它總是比1 小一些。怎么能讓學生理解并接受0.999…＝1 呢？基于小學生的年齡特點，筆者設計了以下三個教學環節。

首先，可以采用數形結合的方式，讓學生產生直觀的了解。

其次，用兩道除法算式體現極限思想。

師：1÷9， 8÷9，算一算它們的商。

生：1÷9 ＝0.111…，8÷9 ＝0.888…

師：我們把這兩個算式的左右兩邊相加，可以得到1÷9+8÷9 ＝0.111…＋0.888…，你能將它化簡嗎？

最后，還可以通過關系式求未知數，對結論進行“證明”。

師：設x=0.999…，則10x=9.99…，10x-x=9.99…-0.999…，即9x=9，x=1，x既是0.999…，又等于1，我們可以得到什么結論？

生：0.999…＝1。

通過上述三個環節的教學，不僅使學生難以理解的問題迎刃而解，同時也讓學生體會到無限與有限的區別，產生從有限到無限的思維過渡，滲透了極限的思想方法。

二、在“圖形與幾何”方面滲透極限思想

（一）線段的無限延伸性

在圖形與幾何中，極限思想的滲透顯得尤為重要。線段中直線、射線、平行線等概念都離不開“無限延伸”這四個字，這些概念具有一定的抽象性。因此，教師在教學時可以先讓學生通過動手畫一畫直線、射線，讓他們體會這些線是可以一直延伸下去的，然后再引導學生去想象這條線到底可以畫多長，在頭腦中形成無限延伸的畫面。這樣既能幫助學生從本質上理解“直線”“射線”和“平行線”的概念，還能發展學生的空間觀念，培養他們的空間想象力。

（二）在圖形的度量中體會無限性

用不同的長度單位度量實際物體或者圖形的長度時，也能滲透極限思想。例如，在二年級下冊《認識分米和毫米》這節課中，筆者設計了以厘米為單位，動手量鉛筆長度的操作活動，使學生發現鉛筆的長度并不是整厘米數，產生了認識新的長度單位“毫米”的需求。同樣，在學生認識毫米并重新量出鉛筆長度時，可以繼續追問學生：“鉛筆的長度就是整毫米數嗎？”為了便于學生觀察，可以借助于多媒體課件放大刻度尺，然后用毫米刻度一次次去測量鉛筆，讓學生發現鉛筆的長度也不是整毫米數。此時，筆者引導學生思考：“余下的不足1 毫米的部分，我們該怎么測量呢？”“這樣的過程有沒有可能繼續下去？”通過這一過程，學生能夠想象將刻度尺無限劃分下去，這樣學生就在不知不覺中體會到度量中的無限性，從而滲透了極限思想。

（三）推導圓的面積公式

圓是由曲線圍成的封閉圖形，無法像長方形和正方形那樣利用擺小正方形的方法推導出面積公式，教學難度較大。筆者在學生已經初步認識了“由正多邊形不斷變化可以變成圓”這一觀念的基礎上，進一步運用分割拼接法，通過多媒體動畫演示，使學生直觀地感受“化圓為方”的思想，領會從近似分割到無限細分的數學思維方法，經歷從“有限”轉化成“無限”的過程，最終達到極限狀態。這樣不僅使學生親歷了推導圓面積公式的過程，也培養了學生的轉化思維能力，更滲透了極限思想，讓學生認識到極限思想不可替代的重要作用。

三、在“統計與概率”方面滲透極限思想

如何把頻率近似看作概率，然后判斷游戲的公平性，這也運用到了極限思想。我們可以用簡單的“拋硬幣”問題舉例。這里筆者采用小組合作模式，讓學生動手先拋1 次硬幣，發現可能出現正面，也有可能出現反面。接著，讓學生實驗拋10 次硬幣，并記錄每次的結果，再通過匯總結果分析正反面出現的頻率。由于頻率不具有穩定性，可能會出現一面出現的次數遠遠大于另一面出現的次數的情況，或者10 次拋硬幣都只出現了一面的現象。單純觀察拋硬幣的實驗結果，學生容易認為游戲是不公平的，所以教師要繼續引導學生進行推測如果拋20 次、30 次呢？如果拋更多的次數呢？學生通過親手實驗后逐漸分析并大膽猜想出：拋的次數越多，正反面分別出現的頻率都在某一可能性上上下波動，借用數學家先前的實驗數據觀察可以證實猜想。教師可以追問：當我們拋出硬幣的次數無限多時，你能得到什么結論？學生就能得出正反面出現的頻率就是固定的某一可能性值（事件發生的概率），從而解答出這個游戲是公平的，與拋硬幣的次數沒有關系。這里通過極限思想的滲透與應用，不僅將頻率與概率的性質區分開來，還讓學生學會利用這一思想判斷游戲的公平性。

結 語

作為教師，我們在教學中一定要重視對極限思想的滲透。這樣，學生不僅在小學階段就形成了無限觀念，培養了空間想象力，還為以后構建新的數學知識體系以及其他學科的學習奠定了堅實的基礎。