打開抽屜巧解題

◎謝平華

抽屜原理是德國數學家狄利克雷最早發現并應用于數論研究的。后人為了紀念他，就把抽屜原理叫作狄利克雷重疊原理。即把多于n+1個的蘋果放進n個抽屜里，那么，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把蘋果換成鴿子，把抽屜換成籠子，同樣有類似的結論，所以有時也把抽屜原理叫作鴿巢原理。不要小看這個原理，利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數學問題。

例1：在1米長的線段上隨意點上5個點，說明至少有兩個點之間的距離不大于25厘米。

分析與解：把1米長的線段平均分成四段，每段長25厘米。把每一段看作一個抽屜，把5個點看作5個蘋果，5個蘋果放入4個抽屜，總有一個抽屜里至少放入兩個蘋果，也就是有一段里至少有兩個點，這兩個點之間的距離一定不大于25 厘米，所以結論是成立的。

例2：有5 個小朋友，每人都從裝有許多黑白棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子。請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。

分析與解：首先要確定3 枚棋子可以有多少種不同的配組情況，可以有“3黑、2黑1白、1黑2白、3白”共4種，即4個抽屜。把每人的3枚棋子作為一組當作一個蘋果，即有5 個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是至少有兩個小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。

例3：上衣和褲子分別有紅、黃、藍3種顏色，同學們可以任意選擇上衣和褲子穿上。至少要有幾名學生，才能保證有兩名學生穿的上衣和褲子顏色相同？

分析與解：本題中，我們把上衣和褲子的幾種搭配情況看作抽屜，問題就可解決。3種顏色的上衣和褲子的搭配情況有以下9種：紅上衣紅褲子、紅上衣黃褲子、紅上衣藍褲子、黃上衣紅褲子、黃上衣黃褲子、黃上衣藍褲子、藍上衣紅褲子、藍上衣黃褲子、藍上衣藍褲子。把每一種搭配看作一個抽屜，共9 個抽屜。要保證有兩名學生穿的上衣、褲子顏色都相同，即要保證有一個抽屜至少放兩個蘋果，所以至少要9+1=10（個）蘋果，也就是說至少要有10名學生，才能保證有兩名學生穿的上衣和褲子的顏色相同。