一道橢圓題的源和流

■安徽省六安二中 陶興紅

題目:已知橢圓C的方程為1,A是橢圓上的一點,且A在第一象限內,過A且斜率等于-1 的直線與橢圓C交于另一點B,點A關于原點的對稱點為D。

(1)證明:直線BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

該題是圓錐曲線中的定值和最值問題,圓錐曲線中的定值定點問題是高考常考題型,也是近幾年高考考查圓錐曲線的重點和熱點。解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某些代數表達式的值等與題目中的參數無關,不隨參數的變化而變化,而始終是一個確定的值。圓錐曲線中的最值問題是高考中的一類常見問題,體現了圓錐曲線與三角、函數、不等式、方程、平面向量等代數知識之間的橫向聯系。通過探究,筆者發現該題的第(2)問有下列兩種常見解法:

解析:(1)設直線AB的方程為y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),則D(-x1,-y1)。聯立消去y,得3x2-4mx+2m2-4=0,由韋達定理得x1+x2=

因此直線BD的斜率為定值。

方法2:設A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB的方程為y-y1=-(x-x1),即x+y-x1-y1=0。

根據橢圓的參數方程,可設x1=2cosθ,

說明:通過設動直線AB的斜截式方程和動點A,B,D的坐標,再聯立直線方程和橢圓方程,得到方程組,消元得到一元二次方程組,利用韋達定理,便知道動點坐標之間的關系,最后利用兩點式斜率公式,將斜率式轉化為坐標關系,通過化簡變形和消元,便得出動直線BD的斜率,求面積最值就是選擇適當的參數和求法將所求的面積表示為該參數的表達式,其中解法1 以動直線的斜率為參數,解法2以動點A的坐標為參數,將所求的面積先表示為該參數的表達式,再根據橢圓的參數方程,將面積表達式轉化為三角函數式,最后求出此三角函數式的最值。

推廣1:已知橢圓C的方程為1(a＞b＞0),A是橢圓上的一點,且A在第一象限內,過A且斜率等于k(k＜0)的直線與橢圓C交于另一點B,點A關于原點的對稱點為D。

(1)證明:直線BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

解析:(1)設直線AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),則D(-x1,-y1)。

因此直線BD的斜率為定值。

點O到直線AB的距離則點D到直線AB的距離d2=2d1=

即△ABD面積的最大值為ab。

這里需要指出的是△ABD面積的最大值ab與直線AB的斜率k無關。

推廣2:已知圓O的方程為x2+y2=a2,A是圓上的一點,且A在第一象限內,過A且斜率等于k(k＜0)的直線與圓O交于另一點B,點A關于原點的對稱點為D。

(1)證明:直線BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

推廣3:已知雙曲線C的方程為=1,A是雙曲線上的一點,且A在第一象限內,過A且斜率等于k(k＜0)的直線與雙曲線C交于另一點B,點A關于原點的對稱點為D。

(1)證明:直線BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

推廣2和推廣3 留給讀者自行解決,方法類似。

最后,在平時解題過程中我們要有探究意識、推廣意識和拓展意識,比如,探究特殊的能否推廣為一般的,二維的能否推廣為三維的,兩個變量的問題能否拓展為三個或三個以上變量的問題,圓錐曲線是橢圓的問題能否拓展為雙曲線的問題或拋物線的問題等。只要做到這一點,我們就能收到做一道題,會一類題,通一片題的效果。我們拿到一道題目后,會知道出題者的意圖,會發現出題者的陷阱。即便出題者粗心出現了一個錯誤,我們也能夠很快地把它糾正出來。