極坐標和參數方程的突破方法

■河南省西華縣一高數學組 李五銀 李松林

高考對極坐標和參數方程的考查主要有：(1)極坐標方程與普通方程的互化；(2)參數方程與普通方程的互化；(3)直線(普通方程或參數方程)與圓、橢圓或拋物線的位置關系問題。對于直線參數方程的應用，已知直線l經過點M0(x0，y0)，傾斜角為α，點M(x，y)為l上任意一點，則直線l的參數方程為(為參數)。t

(1)若M1，M2是直線l上的兩個點，對應的參數分別為t1，t2，則

(2)若線段M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應的參數分別為t1，t2，t3，則t3=

(3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1+t2=0，t1t2＜0。

注意：在使用直線參數方程的幾何意義時，要注意參數前面的系數應該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數不具備該幾何含義。

一、根據直線的參數方程的標準式中t的幾何意義，以及韋達定理t1+t2=—得到弦長為|t—t|來解決12

例1 在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ=2ac o sθ(a＞0)，過點P(—2，—4)的 直 線l的 參 數 方 程 為(t為參數)，l與C分別交于點M，N。

(1)寫出C的直角坐標方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求實數a的值。

解析：(1)曲線C的直角坐標方程為y2=2a x(a＞0)；直線l的普通方程為x—y—2=0。

(2)將直線l的參數方程代入C的直角坐標方程，可得t2—2(4+a)t+8(4+a)=0。 ①

由題意知Δ=8a(4+a)＞0，又a＞0，所以4+a＞0。

設點M，N對應的參數分別為t1，t2，則t1，t2恰為方程①的根。易知|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1—t2|，由題設得(t1—t2)2=|t1t2|，即(t1+t2)2—4t1t2=|t1t2|。

又由①得t1+t2=2(4+a)，t1t2=8(4+a)＞0，則有(4+a)2—5(4+a)=0，解得a=1或a=—4。因為a＞0，所以a=1。

方法總結：(1)解決與圓、圓錐曲線的參數方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數方程的互化公式，主要是通過互化解決圓、圓錐曲線上與動點有關的問題，如最值、范圍等。(2)根據直線的參數方程的標準式中t的幾何意義，有如下常用結論：過定點M0的直線與圓錐曲線相交，交點為M1，M2，所對應的參數分別為t1，t2。則：①弦長l=|t1—t2|；②弦M1M2的中點?t1+t2=0；③|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|。

二、弦的中點問題

例2 在平面直角坐標系x O y中，傾斜角為的直線l的參數方程為(t為參數)。以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρc o s2θ—4 sinθ=0。

(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)已知點P(1，0)，若點M的極坐標為，直線l經過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設線段A B的中點為Q，求|P Q|的值。

解析：(1)因為直線l的參數方程為(t為參數)，所以直線l的普通方程為y=t a nα·(x—1)。由ρc o s2θ—4 sinθ=0得ρ2c o s2θ—4ρsinθ=0，即x2—4y=0。所以曲線C的直角坐標方程為x2=4y。

(2)因為點M的極坐標為，所以點M的直角坐標為(0，1)，所以t a nα=—1，直線l的傾斜角，所以直線l的參數方程為(t為參數)。代入x2=4y，得

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2。因為Q為線段A B的中點，所以點Q對應的參數值為又點P(1，0)，則

方法總結：已知直線l經過點M0(x0，y0)，傾斜角為α，點M(x，y)為l上任意一點，則 直 線l的 參 數 方 程 為(為參數)。 線段t①M1M2的中點為M3，點M1，M2，M3對應的參數分別為t1，t2，t3，則②若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0，y0)，則t1+t2=0，t1t2＜0。