核權平滑波動率估計的幾乎處處收斂性 *

許學艷

（廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

假設Xt服從以下復合poisson跳躍-擴散模型過程

Wt是標準brown運動，μt和σt分別稱為方程的漂移項和擴散項，其中擴散項亦為價格過程的瞬時波動率。是一個強度為λ的poisson過程，表示[0，T]上發生跳躍的次數，τi表示第i次發生跳躍的時間，Cτi表示在τi處跳躍的大小。

在有限區間[0，T]上獲得n+1個Xt的離散等距觀察值Xt0，Xt1，…，Xtn-1，Xtn，其中0=t0

而Kristensen（2010）［1］給出了核權積分波動率的估計

這里Kh(x)=K(x/h)/h，K(x)是核函數，h為窗寬。當h→0時，有

Lu（2010）［2］利用鞍點逼近方法對Black-Scholes模型的積分波動率的二階變差估計量的估計誤差進行分析，得到了相對于中心極限定理更為精細的結果。而對跳躍-擴散模型，為了估計核權平滑波動率，利用二次冪變差方法定義一種核權平滑波動率估計（Kernel-weighted-Smoothing-Volatility-Estimation）

Ying（2019）［3］證明了核權平滑波動率估計的弱相合性和漸近正態性，并得到了弱相和性的收斂速度，且核權平滑波動率估計的弱相合性的收斂速度快于核權瞬時波動率估計的弱相合性的收斂速度。本文繼續在Ying（2019）［3］提出的條件下，對核權平滑波動率估計的強相合性進行研究，利用矩不等式的方法證明了此估計量的強相合性。

1 主要結果與證明

為了給出本文的結論，我們有如下基本假設條件：

假設A.1 {μt，σt}與{Wt，Jt}相互獨立，且{Wt}與{Jt}獨立。

假設A.2 μt和σt在[0，T]上有界且可積，{σt}有非零下界，且滿足 E|σs2-σt2|≤C|s-t|r，其中r>0。

假設A.3 核函數K(u)滿足∫K(u)du=1，∫|K(u)|du<∞，且 |K(u)-K(υ)|≤L|u-υ|，u，υ∈R，其中L>0是常數。

定理 假設（A.1）~（A.3）成立，若σt2在τ連續，則有

在證明定理之前，我們先引進一些記號和引理。記

引 理1（矩 不 等 式）［4］假 設{Xj：j≥1}是 獨 立 隨 機 變 量 序 列，且E(Xj)=0，E|Xj|r<∞(? j≥1)，其 中>0。則存在一個與n無關的常數，使得

引理2［3］假設（A.1）~（A.3）成立，則對h→0有

引理3［3］假設（A.1）~（A.3）成立，則對h → 0有

定理的證明：顯然

由引理3知，為了證明（1）式，我們只需要證明

而

對A(x)，由中值定理，存在

對B(x)，我們有

利用核函數的條件

因為{Ui，i≥1}是獨立同分布和U1~N(0，1)，我們有所以，對任意實數r≥2，我們有

因為nh2→∞，因此我們有h-1≤n12，所以當n充分大時，可得

對給定的ε>0，r>2，由Markov不等式和矩不等式有

取r>4，知

從而完成了定理的證明。