基于M/D/c排隊模型的機場管道加油任務分配問題研究*

林賢隆 陳 智

（1.陸軍勤務學院 重慶 320311）（2.空軍勤務學院 徐州 221000）

1 引言

戰時航空兵部隊戰機出動架次密集，場站保障力量面臨威脅嚴重，戰場情況復雜，突發情況多，對場站后勤保障提出了更高的要求，如何科學高效地完成后勤保障，是在提高戰斗力時面臨的一大問題。而油料保障作為航空兵后勤保障的重要因素，其保障效率直接影響了整個后勤保障的效果。戰時油料保障可能無法完全按照既定的保障計劃進行，可能出現因保障任務重而無法按時完成的情況，具體來講就是戰機落地后要進入等待隊列而無法立即進行加油作業。在這種情況下，飛機等待加油的情況可以模擬為多服務臺排隊模型。

針對飛機油料加注問題應用排隊論的研究，主要集中在機場建設時管道加油口的設置方面，顧毓等［1］通過建立多隊列多服務臺的形式模型并通過仿真來確定管道加油口的最優數量；施毅等［2～3］研究了基于三階段法建立管道和油車兩種加油系統的仿真模型，為機場加油平臺系統改造合理配置提供了科學的方法，同時基于事件調度法建立了系統的仿真模型，明顯提高了軍事、經濟效益；陸朝榮等［4～5］應用單隊多列排隊論模型，采用面向事件法，通過VFP語言進行仿真，實現了機場管道加油系統的優化設計。此外，排隊論在軍隊領域的應用主要集中在裝備保障維修［6］，軍事信息［7］，通信頻率分配［8］，應急醫療［9～10］等方面。

一般排隊模型假設服務臺可以不間斷工作，既不失效也不休息，而實際情況中，由于一般情況下機場油庫的油料儲備較為充足，且加油口可以連續工作，故可以把管道加油系統也看作經典排隊模型系統，本文利用排隊論的方法，建立了管道加油排隊模型，并得出在一定作戰任務中的不同機場管道加油保障強度大小，為下一步作戰及保障計劃提供依據。

2 管道加油排隊模型分析

2.1 模型描述

排隊是人們生活、工作和學習中十分常見的現象，即顧客為了某種服務目的到達服務地點，因不能立即獲得服務而進入隊列。在實際作戰中，航空兵場站對作戰飛機進行油料保障，由于出動強度大、作戰飛機著陸間隔時間不確定等問題，往往會形成排隊現象。

機場管道加油系統主要由過濾操作設備、泵及調速系統、環形管、加油地井或接頭、加油管等構成。飛機所需燃料油由管道輸送到加油地井或接頭，并通過加油管加入飛機，加油壓力由泵及調速系統進行控制。當前機場管道加油系統可以做到根據加油井開設數量來對泵的工作壓力進行自動調節，從而使加油井的壓力保持基本不變。因此，可以看作服務臺的服務能力始終不變。依據管道加油特點，結合排隊論一般模型，建立管道加油排隊模型如圖1所示。

圖1 管道加油排隊模型

2.2 模型假設

一般的排隊系統都有三個基本組成部分：輸入過程、排隊規則和服務機構［11］。排隊模型根據輸入過程、排隊規則和服務機構的不同，分為很多類別，Kendall記號表示為X/Y/Z/A/B/C。其中，X表示顧客相繼到達時間間隔的分布；Y表示服務時間分布；Z表示服務臺的個數；A表示服務系統的容量；B表示顧客源的數目；C表示服務規則。本文根據戰時飛機管道加油實際情況，對飛機到達、對待加油飛機的規則和管道加油能力按照排隊系統的三個組成部分作出如下假設。

2.2.1 輸入過程

即指飛機到達加油線服從什么樣的分布。在作戰時，飛機單機飛行或雙機、四機編隊飛行，易形成單架或批次不規律、不等距著陸，同時飛機到達時間與飛行時間、架次相關。在不相重疊的時間段內飛機到達數是相互獨立的，并且在瞬時內只能有一架飛機到達（降落）。故在t時間段內到達n架飛機的概率Pn(t)符合泊松分布，即

則飛機依次到達的間隔時間的概率分布為負指數分布M。

2.2.2 排隊規則

飛機加油作業一般服從先到先服務（First Come First Serve，FCFS）規則。

2.2.3 服務機構

即指同一時刻有多少加油口可以進行加油，對每一飛機補油時間遵從什么規律。管道加油系統為多服務臺并列系統，加油口數量一定，每一加油口給同一機型加油時間基本相同。

綜上所述，該排隊系統符合排隊論中M/D/c/N/N/FCFS模型。

3 建立管道加油排隊模型

3.1 主要指標

Pn為系統中有n架飛機的概率；隊長Ls為系統中的飛機總數；排隊長Lq為隊列中正在排隊等待的飛機數；逗留時間Ws為飛機在系統中的停留時間；等待時間Wq為飛機在隊列中的等待時間；λ為系統中新飛機的平均到達率，即飛機到達強度；D為單個加油口給一架飛機補油時間。根據單機所需補油量Ei和加油速率vi確定，D=Ei/vi；μ為單個加油口加油率，即加油強度，μ=1/D=vi/Ei；ρ為加油繁忙率 ρ=λ/cμ。

相互關系的Little公式：

根據排隊理論可知當cμ＜λ時，流程將隨著時間的增加，將出現無限隊長，此種情況不作探討，只假設cμ＞λ，不會排成無限隊列，系統平均到達率等于離去率，達到平衡狀態。

3.2 M/D/c模型的計算求解

M/D/c模型的求解方法國內文獻較少且其中有謬誤之處。參考國外關于排隊論的著作，簡要介紹其求解過程［12］。設系統中穩定情況下，在t時刻有j架飛機的概率為 pj，則

根據Little公式，pj滿足如下關系：

進而得出

由此可求得當(k-1)D≤x＜kD，k=1，2，…，時的平均等待時間

同時可求得隊長：

由求解出的Wq、Lq，根據Little公式，進而可求得其他指標。

4 實例分析

假設空軍A場站應用管道加油系統進行保障，共有6個加油口可用，單個加油口加油能力為1000L/min，在某小時需保障36架次某型戰斗機作戰行動，該型戰斗機每次需補油7000L。

B場站有8個加油口可用，單個加油口加油能力為1200L/min，在某兩小時需保障90架次某型戰斗機作戰行動，該型戰斗機每次需補油7000L。

即：

EA=7000L；vA=1000L/min；cA=6；λA=36/1=36/h

EB=7000L；vB=1200L/min；cB=8；λB=90/2=45/h則：

通過上文求解公式，得到相關指標如下：

表1 加油能力結果

從表1可以直觀地看出，B場站加油能力相對于作戰任務來講比較充足，而A場站相對來講加油能力稍弱。在作下一步的任務分配時，可以從以下幾方面考慮：

1）根據作戰計劃，可將臨近場站作戰任務適當調整到B場站；

2）安排油料支援保障力量時，可適當向保障任務相對重（平均等待時間長）的場站傾斜；

3）在留有備用力量的前提下，可將保障任務輕的場站保障力量（油車等）向任務較重的場站進行支援。

5 結語

為更科學地分析場站管道加油能力，本文建立了基于M/D/c排隊論的管道加油能力模型，并給出了M/D/c排隊模型的基本解法，計算出平均等待時間和平均等待架數，最后通過實例分析，對不同場站、不同任務的管道加油能力進行統一分析，并得出結果，為指揮員科學決策提供依據。