一類二階中立型廣義Emder-Fowler阻尼方程的振動準則

林 文 賢

(韓山師范學院 數學與統計學院,廣東 潮州 521041)

考慮一類具阻尼項的二階中立型廣義Emder-Fowler方程:

(1)

假設以下條件成立：

(H1)τ(t)>0,r′(t)≥0,0≤p(t)≤1;

Emder-Fowler方程在核物理、天體物理以及氣體動力學等領域應用廣泛[1],而中立型泛函微分方程在高速計算機無損傳輸線路的網絡設計、自動控制理論和神經動力系統理論等領域應用廣泛[2].目前,關于方程(1)振動性的研究得到廣泛關注[3-10],但大多數工作都是針對其某些特例,如文獻[3]研究的方程即為方程(1)當α=β,m(t)=0時的特例.本文通過建立對任意α>0,β>0成立的廣義Riccati不等式,給出方程(1)的若干振動準則,所得結果改進并推廣了文獻[3-6]的相應結果.若無特殊說明,本文中的函數不等式對一切充分大的t均成立.

引理1設方程(1)在[t0,∞)上有非振動解x(t),則y(t)y′(t)>0,t≥T0≥t0.

證明: 設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)>0,故存在t1≥t0,使得當t>t1時,有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0(當x(t)<0時,證明類似,因為變換x(t)=-u(t)可將方程(1)變為同一形式).由q(t)>0,有

于是

(2)

因而

(3)

將式(3)從t2到t積分得

引理2設方程(1)在[t0,∞)上有非振動解x(t),則存在T0≥t0,使得

(4)

其中

Q(t)=q(t)[1-p(σ(t))]β.

(5)

證明: 設x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設x(t)>0,故存在t1≥t0,使得當t>t1時有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0(當x(t)<0時,可類似證明).則由引理1和假設條件(H1),(H2),有

y(t)>0,y′(t)>0, (r(t)(y′(t))α)′<0,t≥t1.

(6)

由τ(t)0和式(6),可得

x(t)=y(t)-p(t)x(τ(t))≥y(t)-p(t)y(τ(t))≥[1-p(t)]y(t),t≥t1,

則存在t2≥t1,使得當t≥t2時,有

x(σ(t))≥[1-p(σ(t))]y(σ(t)).

(7)

聯合假設條件(H3)、式(6)和式(7),由方程(1)可得式(4).證畢.

引理3設x(t)是方程(1)的非振動解,做Riccati變換

(8)

則w(t)>0,且存在T≥t0,使得對任意正常數θ,均有

(9)

其中Q(t)由式(5)定義,且

λ=min{α,β},

特別地,當α=β時,任意常數θ=1.

證明: 設x(t)是方程(1)的非振動解,不失一般性,存在t1≥t0,使得當t>t1時,有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,由引理1知式(6)成立.由式(8)有

(10)

注意到r(t)(y′(t))α是減函數,有

(11)

1) 當β≥α時,由y(t)>0,y′(t)>0知,存在常數θα>0,T1≥T0,使得

y(β-α)/α[σ(t)]≥θα,t≥T1.

(12)

利用式(7),(11),(12),由式(10)得

(13)

2) 當α>β時,有

(14)

(15)

利用式(4),(15),由式(10)得

(16)

式(13),(16)表明不等式(9)成立.證畢.

定理1若存在函數ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),對任意正常數θ,有

(17)

則方程(1)是振動的,其中當α=β時,θ=1.

證明: 設方程(1)存在非振動解x(t).令

(18)

則v(t)>0.類似于引理3的證明,得

(19)

利用不等式

(20)

由式(19)可得

(21)

對式(21)積分,得

(22)

顯然,式(22)與式(17)矛盾.證畢.

下面給出方程(1)的Philos型振動準則.考慮集合

D0={(t,s)|t>s≥t0}

和

D={(t,s)|t≥s≥t0},

如果函數H∈C(D,R),存在h∈C(D0,R),ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得:

1)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

2)H(t,s)對第二個變量有連續非正的偏導數,且滿足等式

則稱函數H∈P.

定理2假設存在函數H,h和ρ(t)使得H∈P,且對任意正常數θ及充分大的T≥t0,有

(23)

其中當α=β時,θ=1.則方程(1)是振動的.

證明：設x(t)是方程(1)的非振動解,定義v(t)如式(18),利用定理1知式(19)成立.將式(19)的t換為s并將兩邊同乘以H(t,s),再關于s積分,得

利用不等式(20),可得

因此,有

(24)

式(24)與式(23)矛盾.證畢.

例1考慮廣義Emder-Fowler阻尼方程:

(25)

由定理2可知方程(25)振動.