高階強偽單調映射變分不等式解的性質

韓文艷,余國林

(北方民族大學 應用數學研究所,銀川 750021)

0 引 言

令X為一實Hilbert空間,用〈·,·〉表示X中的內積,〈·,·〉誘導出的范數記為‖·‖.假設C?X為一非空閉凸子集,Φ:C→X為一映射,考慮如下變分不等式問題:

變分不等式問題VI(C,Φ)在力學、控制論、經濟數學、對策論、微分方程和最優化理論中應用廣泛,解的存在性是研究變分不等式問題VI(C,Φ)的熱點之一.在討論變分不等式解的性質時,通常需要映射Φ滿足一定的連續性和單調性假設[1-6].Kien等[2]在映射Φ滿足弱連續和偽單調的條件下,得到了問題VI(C,Φ)解存在的等價條件,但僅給出了解的存在性,未討論解的唯一性問題.本文通過對映射Φ引進一類高階單調性的概念,在這類高階單調性假設下,考慮問題VI(C,Φ)解的唯一性.

在構造數學模型解決實際問題的過程中,由于用觀察、實驗和測量等方法所獲得的數據不可能完全準確,因此所得的數學模型和實際問題的真實模型一般存在一定的差異,后者通常稱為精確模型,前者稱為近似模型.近似模型可視為由精確模型中的數據做微小變動而得到.當將一個具有精確模型變分不等式的數據做微小變動后,所得到的近似模型變分不等式不僅要有解,而且解也只有微小變化,因為只有這樣才能用近似模型代替精確模型,此即為變分不等式解的穩定性理論[7-8].本文在映射的高階單調性假設下,研究變分不等式問題VI(C,Φ)解的穩定性.

1 高階強偽單調性及解的存在定理

定義1令D為Hilbert空間X中一非空子集.

1) 如果存在常數α>0,使得

〈F(x)-F(y),x-y〉≥α‖x-y‖2, ?x,y∈D,x≠y,

則映射F:D→X在D上稱為強單調的；

2) 如果存在常數α>0,使得

?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥α‖x-y‖2,

則映射F在D上稱為強偽單調的;

3) 如果存在常數α>0,使得

?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥0,

則映射F在D上稱為偽單調的.

定義2令D為Hilbert空間X中一非空子集.如果存在常數α>0,使得

?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥α‖x-y‖m,

則映射F:D→X在D上稱為m-階強偽單調的.此時,也稱F在D上關于常數α是m-階強偽單調的.

注1顯然,如果F:D→X在D上是m-階強偽單調的,則F在D上是偽單調的;在定義2中取m=2,則F是D上強偽單調映射的.

下面舉例說明高階強偽單調映射的存在性.

例1令X=,D=[0,+∞),函數F:D→,定義為F(x)=x3.下面驗證F在D上關于常數α=1是4-階強偽單調的.事實上,假設〈F(y),x-y〉=y3(x-y)≥0,則有

下面考慮變分不等式問題VI(C,Φ),用Sol(C,Φ)表示問題VI(C,Φ)在C上解的集合.文獻[2]在映射Φ為弱連續和偽單調假設下,給出了問題VI(C,Φ)解的存在性定理:

(1)

為一有界集,則問題VI(C,Φ)有解.

定理1令X為Hilbert空間,C?X為一閉凸集.假設Φ:C→X在C上弱連續并且m-階強偽單調,則問題VI(C,Φ)存在唯一解.

由Cauchy-Schwrz不等式,可得

所以有

(2)

式(2)表明

(3)

(4)

2 高階強偽單調變分不等式解的穩定性

引理2[11]令C?n為一閉凸集,Φ:C→n在C上連續.假設存在向量使得式(1)為一個有界集.如果U?n為任意開集,且滿足Sol(C,Φ)?U,則變分不等式問題在U上有解,其中n為一連續映射,且存在δ>0,使得

定理2令C?n為一閉凸集,Φ:C→n在C上弱連續并且m-階強偽單調.令為問題VI(C,Φ)的唯一解.則對任意的ε>0,變分不等式問題在上有解,其中n為一連續映射,且存在δ>0,使得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

由Cauchy-Schwarz不等式并結合條件(6),可得

(10)

(11)

3 高階強偽單調變分不等式的全局誤差界

引理3[12]令C是Hilbert空間X中的一非空閉凸子集.對任意的x∈X,存在唯一的PC(x)∈C(PC(x)稱為x到C的投影),使得

‖x-PC(x)‖≤‖x-y‖, ?y∈C,

并且

〈x-PC(x),y-PC(x)〉≤0.

反之,如果x′∈C,并且

〈x-x′,y-x′〉≤0, ?y∈C,

則有PC(x)=x′.

定義3[1-3]令D為Hilbert空間X中的一非空子集.如果存在常數L>0,使得

‖F(x)-F(y)‖≤L‖x-y‖, ?x,y∈D,

則映射F:D→X在D上稱為L-Lipschitz連續的.

定理4令C是Hilbert空間X中的一非空閉凸子集.假設映射Φ:C→X在C上是L-Lipschitz連續,并且關于常數α>0是m-階強偽單調的,則有

(12)

(13)

這等價于

(14)

再結合式(14),可得

即

再利用Cauchy-Schwarz不等式,可得

因此有

最后,由三角不等式可得

證畢.