帶有記憶的Boussinesq方程指數吸引子的存在性

王美霞,馬巧珍

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

0 引 言

考慮如下帶有記憶的Boussinesq方程:

(1)

指數吸引子的存在性,其中:u=u(x,t)是未知函數,表示流體自由表面的運動;常系數α依賴于流體深度;Ω是N(N≥3)中具有光滑邊界?Ω的有界域;ν是?Ω的單位外法向量;μ是記憶核;外力項不依賴于時間t.

Boussinesq[1]建立了描述淺水波水面長波傳播的方程:

utt-uxx+αuxxxx=β(u2)xx,

(2)

其中:u表示流體自由表面的運動;常系數α,β依賴于流體的深度和水波的特征速度.當α>0時,方程(2)被稱為“好”的Boussinesq方程.文獻[2]研究了“好”的Boussinesq方程初值問題局部解的適定性;文獻[3]研究了方程(2)整體解的不存在性.當α<0時,方程(2)被稱為“壞”的Boussinesq方程.文獻[4]將反散射理論應用于“壞”的Boussinesq方程,首次證明了在初始函數呈負指數階一致衰減的條件下,Boussinesq方程

utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx

(3)

的初值問題是可解的.文獻[5]用不同方法討論了更一般的“壞”的Boussinesq方程初邊值問題解的爆破;文獻[6-7]研究了阻尼Boussinesq方程

utt-2butxx=-αuxxxx+uxx+β(u2)xx,

(4)

得到了方程(4)在不同初邊值條件下的整體漸近解;文獻[8]研究了更一般的具阻尼Boussinesq方程

utt-auttxx-2butxx=-cuxxxx+uxx+p2+β(u2)xx

(5)

Canchy問題解的整體適定性,并給出了一個長時間漸近解.上述結果都是對Boussinesq方程初邊值問題整體解的存在性和爆破性的討論,而關于該方程整體吸引子和指數吸引子及更高正則性的研究報道較少.整體吸引子廣泛應用于具有耗散結構的發展方程中[9-12],但它有本質缺陷: 吸引相空間中任意有界集的速率可以是任意慢的,而且它的分形維數可能無限.指數吸引子克服了這些缺陷,因為它不僅有有限的分形維數,而且吸引速率是指數型的、可測的.文獻[13]研究了具強阻尼的Boussinesq方程

utt+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(6)

解的長時間行為,在g(u)滿足非超臨界條件下得到了對應解算子半群整體吸引子及指數吸引子的存在性;文獻[14]研究了具有強阻尼和夾緊邊界條件的Boussinesq方程

utt-Δu+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(7)

指數吸引子的存在性.本文在方程(7)的基礎上,考慮系統的歷史狀態,得到方程(1).方程(1)中的記憶項給解半群緊性的驗證帶來困難,與文獻[13-14]相比,計算更復雜,而且必須要單獨驗證記憶項的緊性.本文借助文獻[15]的思想和方法,通過構造相對復雜的三元解相空間,再結合算子分解技巧以及緊性平移定理,獲得了方程(1)指數吸引子的存在性.

1 函數集及預備知識

不失一般性,定義Hilbert空間族Vs=D(As/4),其內積和范數分別為

用‖Au‖表示D(A)的范數,其中

顯然,

定義

其為一個Hilbert空間,并且賦予如下內積和范數:

方程(1)的非線性項g(u)是Lipschitz連續的,且滿足如下條件:

記憶核函數μ(·)滿足如下條件:

(H3)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s),μ′(s)+δμ(s)≤0,?s∈+,某些δ>0;

g(s)s+εs2+K1≥0, ?s∈,

(8)

G(s)+εs2+K2≥0, ?s∈.

(9)

根據Gronwall引理,顯然由(H3)可知對所有的s≥s0>0,成立指數衰退不等式:

μ(s)≤μ(s0)e-δ(s-s0).

(10)

根據條件(H3),(H4),定義如下Hilbert空間:

并且在M上定義線性算子T,定義域為

D(T)={η∈M|?sη∈M,η(0)=0},

其中Tη=-?sη,?η∈D(T),?sη表示η關于內部變量s的分布導數.則D(T)空間上的內積可定義為

(η1,η2)D(T)=(η1,η2)M+(?sη1,?sη2)M.

定義1[15]給定η∈L,η在L中的尾部函數是Tη: [1,∞)→[0,∞),定義為

根據生態重建效果評價指標選取的科學性、可比性、可操作性等原則[13]，在評價體系建立中主要考慮對生態環境影響較大的諸多因素，從植被重建效果方面選取能反映礦區植被生態重建效果的11項指標。

(11)

引理1[15]若C?L滿足下列條件:

則C在L中相對緊.

定義Hilbert空間:

且賦予范數

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V=(u1,u2)V2+(v1,v2)H+(η1,η2)L,

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))VT=((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V+(?sη1,?sη2)M.

為得到本文的主要結果,首先需要將方程(1)轉化為一個確定的自治動力系統.為此,借助文獻[15-17]的思想,引入表示歷史位移的變量,即

ηt(s)=u(x,t)-u(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥τ.

(12)

于是

(13)

為方便計算,取α=1+μ0,則方程(1)轉化為

(14)

相應的邊界條件為

(15)

初值條件為

u(x,τ)=u0(x),ut(x,τ)=u1(x),ηt(x,0)=0,ητ(x,s)=η0(x,s),

(16)

其中

(17)

問題(14)等價于如下算子方程:

(18)

定義2(指數吸引子)[18-19]設{S(t)}t≥0為完備度量空間X中的半群,如果集合M?X滿足下列條件,則稱M為半群{S(t)}t≥0的指數吸引子：

1) 集合M在X中是緊的,且具有有限的分形維數;

2) 集合M為正不變的,即S(t)M?M;

3) 集合M以如下方式指數吸引X中的任意有界子集,即對每個有界集B?X,有

dist(S(t)B,M)≤Q(‖B‖X)e-lt,

其中正常數l和單調函數Q不依賴于B.

定理1[18]設X?H是一不變緊子集,且Q到H是緊嵌入,存在時間t*>0,使得如下條件成立:

2) 映射S(t*): X→X有如下分解形式:

S(t*)=S0+S1,S0: X→H,S1: X→Q,

其中S0滿足

S1滿足

‖S1(z1)-S1(z2)‖Q≤C*‖z1-z2‖H,C*>0.

則映射S(t*): X→X存在指數吸引子A.

顯然,由指數吸引子的定義,A有如下性質:

1) A在X中是緊的;

2) A具有有限的分形維數;

3) A為正不變的,有S(t)A?A;

4) A為半群{S(t)}t≥0的指數吸引集,即對每個有界集B?X,存在常數k=k(B),l>0,使得

dist(S(t)B,A)≤ke-lt.

1) 若初值(u0,u1,η0)∈H,則問題(14)-(17)有一個弱解

(u,ut,ηt)∈C([τ,T],H ), ?T>τ,

且滿足

‖z1(t)-z2(t)‖H≤ect‖z1(τ)-z2(τ)‖H,t∈[τ,T].

因此,可定義映射S(t): H→H為

S(t)(u0,u1,η0)=(u(t),ut(t),ηt(s)),t≥τ,s≥0,

其中(u(t),ut(t),ηt(s))是問題(14)-(17)的唯一弱解,算子S(t)滿足半群的性質且可定義一個在H上局部Lipschitz連續的非線性C0-半群.

2 有界吸收集

2.1 H中的有界吸收集

選取與式(8),(9)相同的ε滿足0<ε<1,用v=ut+εu和式(18)中的第一個方程在H中做內積可得

結合(H1)～(H3)以及H?lder,Young和Poincaré不等式,有

將式(20)～(22)代入式(19)可得

此外,有

(24)

(25)

整理式(23)～(25)可得

令

(27)

根據式(8),(9)和式(27),(28),利用Sobolev嵌入定理可得

(31)

(32)

(33)

由式(31),(32)可知

因此,對?ρ0>M2/C1,存在t0=t0(B),使得

(35)

則B0是半群{S(t)}t≥0在H中的有界吸收集.從而有如下定理:

‖S(t)z0‖H≤R0, ?t≥τ.

2.2 VT中的有界吸收集

引入條件：

g′(s)>-l, ?s∈.

(36)

下面證明解半群S(t)限制在VT上時,VT上有界吸收集B1?VT的存在性.

證明: 用A1/2v=A1/2ut+εA1/2u和式(18)的第一個方程在H中做內積,得

結合(H1),(H2)、定理3中的有界性以及H?lder,Young和Poincaré不等式,有

且

(39)

(40)

根據式(36)和推論1,利用Sobolev嵌入定理可知

(42)

將式(38)～(42)代入式(37)并整理可得

結合H?lder不等式和推論1中的有界性,可得

則有

再利用Gronwall引理可得

P(t)≤P(0)e-ε1t+c1.

(46)

由范數的等價性,有

(47)

結合式(46),(47),得

(48)

其中c1,c3是正常數.

由文獻[16-17]可知,ηt可表示為

(49)

因此,

(50)

從而有

根據式(10),(48),取δ>ε1,有

因此,可得

(53)

同時,由式(48),(49),有

ηt(0)=0, ?t>0.

(54)

綜合式(48),(53),(54)可知結論成立.

顯然,由定理4可得如下推論.

2.3 H中的不變緊集

設x*=x*(μ)≥1,滿足對所有的x≥x*,下列條件成立:

(55)

(56)

利用定理4和推論2,可令

其中z0=(u0,u1,η0).則存在時間tB≥0,使得當t≥tB時,S(t)B?K.

3 指數吸引子

‖S(t)z1-S(t)z2‖H≤L1‖z1-z2‖H, ?t∈+,

(57)

其中L1是與R0,δ,k0有關的常數.

(58)

(59)

結合式(40)及H?lder,Young和Poincaré不等式,有

(60)

整理式(59)～(61)可得

由定理3的有界性,得

其中L1是與R0,δ,k0有關的常數.再由Gronwall引理可得結論.證畢.

引理3存在常數M>0,使得

(64)

其中:z0=(u0,u1,η0);z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)).

且

(65)

結合式(40)、H?lder,Young和Poincaré不等式及定理3,有

(67)

且

(68)

將式(67)～(69)代入式(66)并整理可得

顯然

對式(70)利用Gronwall引理并結合式(71),有

(72)

其中M為正常數.從而可得

(73)

證明: 對任意z1,z2∈X及t1,t2∈[0,T],有

‖S(t1)z1-S(t2)z2‖H≤‖S(t1)z1-S(t1)z2‖H+‖S(t1)z2-S(t2)z2‖H,

(74)

對不等式(74)第二項,由引理3可得

‖S(t1)z1-S(t2)z2‖H≤L(|t1-t2|+‖z1-z2‖H).

定義線性空間

定理7設X?H是一不變緊子集,且Z到H是緊嵌入.則存在t*>0和C*>0,使得映射S(t*): X→X 有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0: X→H,S1: X→Z,

其中S0和S1滿足下列條件:

(75)

‖S1(z1)-S1(z2)‖Z≤C*‖z1-z2‖H, ?z1,z2∈X.

(76)

(77)

(78)

類似于前面的估計,并運用Poincaré不等式,有

(80)

(81)

整理式(79)～(81),得

引入泛函

由范數的等價性,有

(83)

結合式(36)及定理3和定理4,有

(85)

(86)

將式(85),(86)代入式(84)得

從而有

在(0,t*)上積分且結合初值條件,有

下面只需證明下式成立：

(90)

(91)

(92)

結合式(57)有

(93)

對x≥t*≥1,有

由(H4)和式(55),可得

(94)

最后,由式(92)可知

(95)

再結合式(57)知

(96)

由式(94),(95)即可得式(90),再結合式(89)則有式(76)成立.證畢.

于是,由定理6和定理7再結合定理1,即得：

1) A在H中是緊的;

2) A具有有限的分形維數;

3) A為正不變的,有S(t)A?A;

4) A為半群{S(t)}t≥0的指數吸引集,即對每個有界集B?H,存在常數k=k(B),l>0,使得dist(S(t)B,A )≤ke-lt.

推論3假設定理8的條件成立,則問題(14)全局吸引子的分形維數是有限的.