擬行(列)對稱矩陣的Schur分解及正交對角分解

袁 暉 坪

(重慶工商大學 數學與統計學院,重慶 400067；經濟社會應用統計重慶市重點實驗室,重慶 400067)

矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解是矩陣的基本分解方法之一,在因子分析、數理統計、系統論、控制論、信息論、商務智能、最優化及各種工程問題中應用廣泛[1-9].廣義逆矩陣在測量學、經濟學、數值分析、優化理論、系統論和控制論等領域應用廣泛[10].當數據矩陣維數較大時,用計算機對其進行直接分解,計算量極大,效率較低.但若能找到矩陣中某一部分與其他部分之間的某種定量關系,會極大提高計算效率,因此尋找矩陣的特殊結構關系有一定的理論意義[11-16].尤其當矩陣具有某種行或列對稱性時,矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解很容易求得,從而可以節省大量存儲量空間和計算量.文獻[11-14]研究了行(列)對稱矩陣的QR分解與奇異值分解,文獻[15-16]研究了擬行(列)對稱矩陣的極分解,獲得了一些有意義的結果.本文進一步探討擬行(列)對稱矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解,給出擬行(列)對稱矩陣的Schur分解、正交對角分解、Hermite矩陣分解及其Moore-Penrose逆的公式,推廣了文獻[7-8]的結果,擴充了文獻[15-16]的結果.拓寬了應用范圍.本文用AH表示矩陣A的共軛轉置矩陣,m×n與m×n分別表示m×n實矩陣集與復矩陣集,A+表示A的Moore-Penrose逆.

定義1[15]設A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,則稱

為A的k次擬行對稱矩陣,A稱為其母矩陣.特別地,當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,簡記R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定義2[15]設A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,則稱

C(A;Q1,…,Qk-1)=(A1,A2,…,Ak-1)(其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1)

為A的k次擬列對稱矩陣,A稱為其母矩陣.特別地,當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,簡記C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;Q).

由定義1和定義2可知,擬行(列)對稱矩陣是行(列)對稱矩陣[12]、行(列)反對稱矩陣[8]、行(列)延拓矩陣[13]與行(列)酉對稱矩陣[14]的進一步推廣.

1 擬對稱矩陣的3種分解及其Moore-Penrose逆

引理1設Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,U為n階酉矩陣,則

為kn階酉矩陣.

證明：因為UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I,所以容易驗證

若無特殊說明,下面出現的酉矩陣P1均與引理1相同.

1.1 擬對稱矩陣的Schur分解及其Moore-Penrose逆

定理1(Schur分解) 設Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,已知A∈n×n的k次擬行對稱矩陣為R(A;Q1,…,Qk-1)∈kn×n,A的Schur分解為A=UHLU,其中U為酉矩陣,L為上(下)三角陣且其對角元為A的特征值.則存在酉矩陣P1, 使得：

證明：1) 由引理1知,P1為酉矩陣,故

2) 由1)及文獻[5]知,

定理1推廣了文獻[7]的定理2及文獻[8]的定理1.

定理2(Schur分解) 設Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,已知A∈Cn×n的k次擬列對稱矩陣為C(A;Q1,…,Qk-1)∈n×kn,A的Schur分解為A=UHLU,其中U為酉矩陣,L為上(下)三角陣且其對角元為A的特征值.則存在酉矩陣P1,使得：

證明：1) 由引理1知,P1為酉矩陣,故

2) 由1)及文獻[5]知,

定理2推廣了文獻[7]的定理3和文獻[8]的定理2.

1.2 擬對稱矩陣的正交對角分解及其Moore-Penrose逆

定理3(正交對角分解) 設Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,已知可逆矩陣A∈n×n的k次擬行對稱矩陣R(A;Q1,…,Qk-1)∈kn×n,且UHAV=D1=diag(σ1,σ2,…,σn),其中σi>0(i=1,2,…,n),U,V為正交矩陣，則存在正交矩陣V和P1,使得:

2) 由1)及文獻[5]知,

定理4(正交對角分解) 設Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,已知可逆矩陣A∈n×n的k次擬列對稱矩陣C(A;Q1,…,Qk-1)∈n×kn,且UHAV=D1=diag(σ1,σ2,…,σn),其中σi>0(i=1,2,…,n),U,V為正交矩陣.則存在正交矩陣V和P1,使得：

2) 由1)及文獻[5]知,

1.3 擬對稱矩陣的Hermite矩陣分解及其Moore-Penrose逆

定理5設Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,已知n階Hermite矩陣A的k次擬行對稱矩陣為R(A;Q1,…,Qk-1)∈kn×n,且A=UHDU,其中D為實對角矩陣,對角元為A的特征值,U為酉陣.則存在酉陣P1,使得:

證明：1) 由引理1知P1為酉矩陣,故

2) 由1)及文獻[5]知,

定理6設Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,已知n階Hermite矩陣A的k次擬列對稱矩陣為C(A;Q1,…,Qk-1)∈n×kn,且A=UHDU,其中D為實對角矩陣,對角元為A的特征值,U為酉陣.則存在酉陣P1,使得：

證明：1) 由引理1知P1為酉矩陣,故

2) 由1)及文獻[5]知,

2 擬對稱矩陣Schur分解的算法

算法1擬行對稱矩陣R(A;Q1,…,Qk-1)的Schur分解算法.

步驟1) 求矩陣A的Schur分解A=UHLU；

步驟2) 計算引理1中的酉矩陣P1；

算法2擬列對稱矩陣C(A;Q1,…,Qk-1)的Schur分解算法.

步驟1) 求矩陣A的Schur分解A=UHLU；

類似地,可得出其他幾種分解的算法,故略.

例1在彩色圖像數字水印算法中,假設原始像素塊為

則由定理2知,存在酉矩陣

使得

綜上,本文研究了擬行(列)對稱矩陣的性質,給出了它們的Schur分解、正交對角分解、Hermite矩陣分解和Moore-Penrose逆的公式及快速算法,導出了擬行(列)酉對稱矩陣與母矩陣的Schur分解、正交對角分解、Hermite矩陣分解和Moore-Penrose逆之間的定量關系.結果表明,用母矩陣代替擬行(列)對稱矩陣進行Schur分解、正交對角分解、Hermite矩陣分解及Moore-Penrose逆,既能極大減少計算量和儲存量,又不會喪失數值精度.因此,本文不僅推廣了文獻[7-8]的相關結果,也豐富了文獻[15-16]的研究結果,拓寬了實際應用領域的范圍.