整數(shù)值上的混合符號(hào)稀疏算子INAR(1)模型

毛惠玉,李 琦

(1.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春 130022;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012;3.長(zhǎng)春師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130032)

非負(fù)整數(shù)值時(shí)間序列數(shù)據(jù)在社會(huì)科學(xué)、工業(yè)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.目前,關(guān)于整數(shù)值時(shí)間序列模型的研究已有很多結(jié)果.基于Steutel等[1]提出的二項(xiàng)稀疏算子,Al-Osh等[2]建立了一階非負(fù)整數(shù)值時(shí)間序列模型INAR(1)(first-order integer-valued autoregressive process);Du等[3]將INAR(1)模型推廣到了p階.除利用稀疏算子外,還有另一類非負(fù)整數(shù)值時(shí)間序列的建模方法[4-7].但上述模型都只適用于自然數(shù)集上的平穩(wěn)時(shí)間序列,當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)不平穩(wěn)或有明顯的季節(jié)性與周期性波動(dòng)時(shí),模型便不再適用.對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列,通常的方法是采取類似于實(shí)數(shù)值A(chǔ)RMA(autoregressive moving average)模型的差分方法,差分后的時(shí)間序列將消去趨勢(shì)項(xiàng)與季節(jié)項(xiàng),但差分后得到的是整數(shù)值上的時(shí)間序列數(shù)據(jù).Kim等[8]建立了一個(gè)整數(shù)值上的p階符號(hào)稀疏算子模型;Liu等[9]通過引入兩個(gè)隨機(jī)算子(稱為一階和二階隨機(jī)舍入算子),將條件均值和條件方差分別建模,其模型也可以處理整數(shù)值上的時(shí)間序列.其他符號(hào)稀疏算子模型的推廣可參見文獻(xiàn)[10-11].Alzaid等[12]基于擴(kuò)展的二項(xiàng)稀疏算子建立了以兩個(gè)Poisson分布之差為邊際分布的模型;Freeland[13]和等[14]以兩個(gè)獨(dú)立的INAR(1)時(shí)間序列做差建立了上的模型.由于二項(xiàng)稀疏算子與負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的概率混合下建立的INAR模型具有較大的靈活性[15-16],因此本文基于符號(hào)二項(xiàng)與符號(hào)負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的概率混合,以擴(kuò)展的冪級(jí)數(shù)分布為信息量,建立一個(gè)更具靈活性的整數(shù)值上的一階模型,即MINARS(1)(first-order integer-valued autoregressive process with mixed signed thinning operator).

1 模型建立

定義1X是整數(shù)值上擴(kuò)展的冪級(jí)數(shù)隨機(jī)變量,即X具有如下分布列:

P(X=x)=pP(Y=x)I{x≥0}+(1-p)P(Y=|x|)I{x≤0},x∈,

(1)

符號(hào)函數(shù)sgn(·)定義為: 當(dāng)x≥0時(shí),sgn(x)=1;當(dāng)x<0時(shí),sgn(x)=-1.符號(hào)二項(xiàng)稀疏算子“⊙”和符號(hào)負(fù)二項(xiàng)稀疏算子“?”分別定義為:

定義2按照下列遞歸等式定義MINARS(1)過程

(2)

記St=(S1,t,S2,t)(t=1,2,…)是一個(gè)隨機(jī)向量,P(St=(1,0)T)=φ,P(St=(0,1)T)=1-φ.St與所有的計(jì)數(shù)序列{Yi},{Wi}及εt,Xt-i都獨(dú)立.則式(2)可等價(jià)表示為

Xt=S1,tα⊙Xt-1+S2,tβ?Xt-1+εt.

(3)

當(dāng)φ=1或φ=0 時(shí),定義2中的過程分別為一階符號(hào)二項(xiàng)稀疏算子與一階符號(hào)負(fù)二項(xiàng)稀疏算子模型.

定理1滿足式(2)的嚴(yán)平穩(wěn)整數(shù)值序列唯一存在,當(dāng)s

E(α⊙X)2=|α|(1-|α|)E|X|+α2E(X2),

E(β?X)2=|β|(1+|β|)E|X|+β2E(X2),

得

因?yàn)橛?jì)數(shù)序列和信息量相互獨(dú)立,由{Xt}的構(gòu)造知,σ-域σ(Xt,Xt+1,…)包含在一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列產(chǎn)生的σ-域中,由Kolmogorov 0-1律可知{Xt}是遍歷的.證畢.

2 隨機(jī)性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)于t≥1,有:

1)E(Xt|Xt-1)=c1Xt-1+με;

3)E(Xt)=με/(1-c1).

其中:c1=φα+(1-φ)β;c2=φα2+(1-φ)β2;c3=φ|α|(1-|α|)+(1-φ)|β|(1+|β|).

證明: 注意到

k步自相關(guān)函數(shù)為ρ(k)=(φα+(1-φ)β)k.

性質(zhì)2MINARS(1)過程是一階Markov過程,轉(zhuǎn)移概率為

其中fε是εt的概率分布.

3 模擬及實(shí)例分析

下面采用條件最大似然方法估計(jì)MINARS(1)模型的未知參數(shù).假設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來自模型的一組觀測(cè)數(shù)據(jù),條件似然函數(shù)為

其中P(Xt=xt|Xt-1=xt-1)是性質(zhì)2中的轉(zhuǎn)移概率.

下面考慮3個(gè)不同信息量的MINARS(1)模型:

模型Ⅰ {εt}是獨(dú)立同分布的擴(kuò)展Poisson分布隨機(jī)變量,模型參數(shù)為(α,β,φ,p,λ);

模型Ⅱ {εt}是獨(dú)立同分布的擴(kuò)展負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量,模型參數(shù)為(α,β,φ,p,λ,ν);

模型Ⅲ {εt}是獨(dú)立同分布的擴(kuò)展對(duì)數(shù)分布隨機(jī)變量,模型參數(shù)為(α,β,φ,p,θ).

圖1 模型Ⅰ,Ⅱ，Ⅲ模擬數(shù)據(jù)的樣本路徑Fig.1 Sample paths of simulated data in models Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

圖1(A),(B),(C)分別是模型Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ在給定一組模型參數(shù)情形下得到的觀測(cè)樣本時(shí)間序列.其中：(A)的參數(shù)為(α,β,φ,p,λ)=(-0.3,-0.4,0.5,0.2,1);(B)的參數(shù)為(α,β,φ,p,λ,ν)=(-0.3,0.6,0.5,0.8,4,2);(C)的參數(shù)為(α,β,φ,p,θ)=(-0.6,-0.3,0.5,0.5,0.2).對(duì)于模型Ⅰ與模型Ⅱ,分別模擬了AIC(Akaike信息準(zhǔn)則)和BIC(Bayes信息準(zhǔn)則)在選擇混合與非混合符號(hào)算子模型時(shí)的效率,模擬結(jié)果列于表1,表1中模型Ⅰ(1)與模型Ⅰ(2)分別表示模型Ⅰ中φ=1與φ=0時(shí)的非混合模型,模型Ⅱ(1)與模型Ⅱ(2)分別表示模型Ⅱ中φ=1與φ=0時(shí)的非混合模型.模擬中設(shè)置的樣本容量為200,500,兩個(gè)樣本量下均重復(fù)100次.表1中數(shù)值表示在100次模擬中根據(jù)AIC或BIC準(zhǔn)則選擇該模型的次數(shù).由表1可見,AIC,BIC準(zhǔn)則對(duì)模型Ⅱ的選擇效率稍優(yōu),并且隨著樣本量的增加,兩個(gè)模型選擇準(zhǔn)則的效率均有提高.

表1 AIC和BIC的模型選擇效率

下面將本文模型應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)間序列,將一階混合符號(hào)稀疏算子模型與非混合符號(hào)稀疏算子模型進(jìn)行對(duì)比.考慮一組毒品犯罪數(shù)據(jù)(http://www.forecastingprinciples.com/Crime/crime20data.html),該數(shù)據(jù)是120月的藥物數(shù)量觀測(cè)數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)標(biāo)記為y1,y2,…,y120.從樣本路徑上易見數(shù)據(jù)呈季節(jié)性和遞減趨勢(shì)性,因此數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的,用差分方法消除季節(jié)性和趨勢(shì)性后得到的數(shù)據(jù)為Xt=yt-yt-1.圖2為差分后數(shù)據(jù)的樣本序列圖、自相關(guān)及偏自相關(guān)函數(shù)圖.由圖2可見,數(shù)據(jù)Xt適合于一階自回歸模型.在取信息量為不同的冪級(jí)數(shù)分布類型下,用混合符號(hào)稀疏算子模型和非混合符號(hào)稀疏算子模型擬合數(shù)據(jù),結(jié)果列于表2,其中非混合模型的擬合只列出3個(gè)AIC和BIC值較低的結(jié)果,這3個(gè)模型是: 以擴(kuò)展的Poisson分布為信息量的一階符號(hào)二項(xiàng)稀疏算子模型(模型A)；以擴(kuò)展的負(fù)二項(xiàng)分布為信息量的一階符號(hào)二項(xiàng)稀疏算子模型(模型B)；以擴(kuò)展的負(fù)二項(xiàng)分布為信息量的一階符號(hào)負(fù)二項(xiàng)稀疏算子模型(模型C).

圖2 犯罪數(shù)據(jù)差分后的序列(A)及樣本自相關(guān)函數(shù)(B)和偏自相關(guān)函數(shù)圖像(C)Fig.2 Series image (A),sample autocorrelation function image (B) and partial autocorrelation function miage (C) after difference of crime data

模型^α^β^?^p^λ^ν^θAICBICⅠ-0.321 50.465 70.211 30.224 92.807 6411.182 2421.708 6Ⅱ-0.421 60.100 70.634 70.891 76.013 01.810 0409.855 7421.332 0Ⅲ0.633 2-0.301 20.491 60.365 80.190 6420.414 0433.342 1A-0.522 00.604 91.567 1413.200 2423.139 5B-0.201 30.891 76.007 63.009 0412.766 0421.666 0C-0.407 10.698 04.887 21.002 0410.003 6425.550 1

由表2可見,混合的符號(hào)稀疏算子模型Ⅱ更適用于數(shù)據(jù).將文獻(xiàn)[9]的RRINARCH(1,0),RRINARCH(1,1)模型應(yīng)用于實(shí)例數(shù)據(jù),模型的參數(shù)估計(jì)值列于表3.根據(jù)所給的模型定階原則,計(jì)算了基于擬似然建立的AIC與BIC值(需注意到文獻(xiàn)[9]中AIC和BIC的定義與本文的定義不同,從而無可比性),RRINARCH(1,0)模型的AIC與BIC值分別為-61.576 7,-59.328 0,RRINARCH(1,1)模型的AIC與BIC值分別為-61.211 0,-54.022 0,所以RRINARCH(1,0)模型更適用于數(shù)據(jù).最后,計(jì)算了混合符號(hào)算子模型Ⅱ與RRINARCH(1,0)模型下的RMS(觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的均方誤差)值分別為4.143 0,4.257 1,其中預(yù)測(cè)值由條件期望的估計(jì)值代替.混合符號(hào)算子模型Ⅱ稍小于RRINARCH(1,0)模型的RMS值.

表3 犯罪數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)