完備非緊梯度擴張Ricci孤立子的剛性

陳佳蕊,劉建成

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

1 引言與主要結果

若Riemann流形(Mn,g)上存在光滑函數f,使得

Ric+Hess(f)=λg,

(1)

則稱Riemann流形(Mn,g)為梯度Ricci孤立子,記為(Mn,g,f),其中f稱為勢函數,Hess(f)表示f的Hessian,Ric表示Mn的Ricci曲率張量,λ∈.當λ>0(λ=0或λ<0)時,稱(Mn,g,f)為梯度收縮(穩定或擴張)Ricci孤立子.若梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)是積流形Nn-k×k的有限商,則稱該梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)是剛性的,其中Nn-k是(n-k)維Einstein流形,k是Gaussian孤立子[1].

梯度Ricci孤立子是Ricci流的自相似解,其剛性性質對于了解Ricci流解的幾何結構具有重要意義.近年來,關于完備收縮Ricci孤立子剛性問題的研究已取得了重要進展,例如：文獻[2]證明了任意完備的3維梯度收縮Ricci孤立子(M3,g,f)或者是3的有限商,或者是S3的有限商,或者是S2×的有限商;文獻[3]在Weyl張量W=0(即Mn局部共形平坦)的條件下,將文獻[2]的結果完全推廣到了任意維數情形;文獻[4]引入了調和Weyl張量的概念,即

并在該條件下證明了完備梯度收縮Ricci孤立子(Mn,g,f)或者是Einstein流形,或者是Nn-k×k(k>0)的有限商,其中Nn-k是(n-k)維Einstein流形;文獻[5]在更弱的條件,即假設Weyl張量的四階散度

的條件下得到了相同的結果；文獻[6]通過對Bach張量

進行適當限定,得到了一個更細致的剛性結果,證明了當Bij=0(即MnBach平坦)時,完備梯度收縮Ricci孤立子(Mn,g,f)或者是Einstein流形,或者是n的有限商,或者是Nn-1×的有限商,其中Nn-1是(n-1)維Einstein流形.

對于完備非緊的梯度穩定Ricci孤立子;文獻[7]在Weyl張量W=0的條件下,證明了其或者是n的有限商,或者是一個Bryant孤立子;文獻[8]在Ricci曲率為正且Bach平坦的條件下,證明了完備梯度穩定Ricci孤立子是一個Bryant孤立子,并證明了完備梯度擴張Ricci孤立子是旋轉對稱的.

本文基于上述工作,在Weyl張量四階散度非負的條件下研究梯度擴張Ricci孤立子的剛性問題,得到如下結果：

定理1設(Mn,g,f)(n≥4)是完備非緊梯度擴張Ricci孤立子,其徑向曲率為0,且Ricci曲率非負.若div4(W)≥0,則(Mn,g,f)是剛性的.

注1文獻[5]在Ricci曲率非負且div4(W)=0的條件下證明了完備梯度擴張Ricci孤立子有調和Weyl張量.本文將div4(W)=0的條件減弱為div4(W)≥0,得到了梯度擴張Ricci孤立子的剛性結果.

2 預備知識

Riemann流形(Mn,g)上的Weyl張量W在局部坐標系下定義為

其中Rijkl,Rij,R分別表示(Mn,g)的Riemann曲率張量的分量、Ricci曲率張量的分量和數量曲率.文獻[5]研究表明,Weyl張量滿足如下對稱性質：

Wijkl=-Wjikl,Wijkl=-Wijlk,Wijkl=Wjilk,

且

類似地,由文獻[9]知,Riemann流形(Mn,g)上的Cotton張量C可局部地表示為

其關于前兩個指標反對稱,即Cijk=-Cjik,且

由第二Bianchi恒等式易證,Weyl張量W與Cotton張量C具有如下關系:

(2)

利用Weyl張量和Cotton張量,Bach張量B可局部地定義為

由式(2)及Ricci恒等式[6]可知,Bach張量B與Cotton張量C滿足如下關系:

(3)

一般地,梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)的數量曲率和Ricci曲率張量滿足:

(4)

事實上,一方面,對第二Bianchi恒等式做縮并得

iR=2gjkjRik.

(5)

另一方面,Ricci孤立子方程(1)局部地表示為Rij+ijf=λgij.結合Ricci恒等式,有

(6)

對式(6)中指標j和k做縮并,得

將其代入式(5)即得式(4).

引理1[9]設(Mn,g,f)(n≥4)是一個梯度Ricci孤立子,則

引理2[5]設(Mn,g,f)(n≥3)是一個梯度Ricci孤立子,ψ:→是C2-函數.若ψ(f)在Mn上有緊致支撐集,則

3 定理1的證明

若梯度Ricci孤立子(Mn,g,f)的徑向曲率張量為0,即R(·,f)f=0,則易知其徑向平坦,即

K(E,f)=〈R(E,f)f,E〉=0,

其中E是Mn上的任一坐標基向量.下面先證明Mn的數量曲率為常數,分兩種情形討論.

情形2) 若集合{p∈M|f(p)≠0}在Mn上是稠密的,因為徑向曲率為0,所以

其中{Ei}是Mn的任一切標架.在梯度Ricci孤立子上有R=2Ric(f,·),故

0=2Ric(f,f)=〈R,f〉.

進一步,由引理1知

由式(3),有

因此,要證Mn上有常數量曲率,只需證明在Mn上Cotton張量C=0即可.

下面在定理1的條件下證明梯度擴張Ricci孤立子(Mn,g,f)(n≥5)上的Cotton張量C=0.

設Φ: [0,+∞)→是C3類函數,且對(0,+∞)上任意一固定點s,在[0,s]上Φ恒為1,在[2s,+∞)上Φ恒為0,在[s,2s]上Φ′≤0.取Ψ(f)=efΦ(-f),由定理1的條件可知,對任意的s>0,截斷函數Ψ(f)在Mn上有緊致支撐集[7].由引理2知,

易見式(7)左側非負,下證式(7)右側非正.

由式(2)可知

結合假設div4(W)≥0,故

注意到在[0,+∞)上Φ(-f)≥0,Φ′(-f)≤0,進一步可知,式(7)中

(8)

因為Ψ=efΦ′(-f)是C2函數,由引理2知式(7)中最后一項

(9)

結合式(7)～(9),必有

可知在緊集Ωs={f≤s}上C恒為0,取s→+∞,可知在整個Mn上有C恒為0,進而(Mn,g,f)有常數量曲率.再結合文獻[1]中定理1.2即可得梯度擴張Ricci孤立子(Mn,g,f)是剛性的.證畢.