例舉雙曲線四類必考題型

■河南科技大學附屬高級中學 張 輝

解析幾何是高考的重點考查內容,而雙曲線又是解析幾何的重要組成部分,從近幾年高考命題來看,雙曲線的定義、標準方程、幾何性質一直是高考的熱點,離心率和漸近線問題是考查的重點,題目難度屬于中低檔,多以選擇填空形式出現,主要考查學生分析問題、解決問題的能力,涉及數形結合思想和轉化思想的應用。下面我們主要分析雙曲線章節的經典題型和解題方法。

類型一 雙曲線的定義與應用

例1(2018 年太原市模擬)已知雙曲線C=1(a＞0,b＞0)的左焦點為F1,離心率為,P是雙曲線C右支上的動點,若點Q(c,2a)(c為半焦距),且|PF1|+|PQ|的最小值為8,則雙曲線C的標準方程是_____。

解題思路：由雙曲線定義結合|PF1|+|PQ|的最小值為8,可得到a的值,再根據離心率得到c的值,進而根據c2=a2+b2,求得b的值,從而求出雙曲線的方程。

解析：設雙曲線C的右焦點為F2,因為e=,所以a=2b。將x=c代入雙曲線C的方程,得y=±,所以點Q在雙曲線右支的上方。

由雙曲線的定義,可得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|。

當F2、P、Q三點共線時,|PF2|+|PQ|取得最小值,此時|F2Q|=2a,所以|PF1|+|PQ|的最小值為4a。則4a=8,解得a=2。已知雙曲線C的離心率為,則c=,雙曲線C的標準方程是-y2=1。

評注：解決雙曲線中有關最值問題,常見方法就是依據雙曲線的定義,再結合平面幾何知識求解,不僅直觀易懂,而且簡單易用。

類型二 雙曲線的標準方程

例2(2017 年全國卷Ⅲ卷)已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓=1 有公共焦點,則雙曲線C的方程為( )。

解題思路：根據雙曲線的漸近線方程得到a,b關系,根據公共焦點求出c,利用c2=a2+b2,求出a2,b2。

解析：根據雙曲線C的一條漸近線方程為,可知。①

根據①②可知a2=4,b2=5,選B。

評注：求解雙曲線的標準方程是學習雙曲線的基礎,以上是求解雙曲線標準方程的一般方法,我們都是先確定焦點在x軸上還是在y軸上,如果焦點位置不確定,可進行分情況探討。如果我們對橢圓、雙曲線的幾何性質熟悉,也可用其他解法,簡化計算過程。

類型三 雙曲線的幾何特征——漸近線和離心率

1.直接法

例3(2018年全國Ⅱ卷) 雙曲線=1(a＞0,b＞0)的離心率為,則其漸近線方程為( )。

解題思路：知道離心率,可得到a,c的關系,利用c2=a2+b2,求出a2與b2的關系,從而求出漸近線方程。

解析：由題意知,e,則。該雙曲線的漸近線方程為y==±x,選A 。

評注：雙曲線的漸近線與離心率有著密切的聯系,二者之間可以相互轉化,并且都是刻畫雙曲線開口大小的重要特征。

2.利用幾何關系求離心率

例4(2019年全國Ⅱ卷)設F為雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點。若|PQ|=|OF|,則雙曲線C的離心率為( )。

解題思路：首先求出以OF為直徑的圓的方程,然后求得兩圓公共弦所在的直線方程,由勾股定理求得PQ,從而由|PQ|=|OF|得到關于a、b、c的齊次方程,進而求得雙曲線的離心率。

評注：利用幾何關系建立有關a、b、c的齊次式,此類問題是高考考查的重點,也是難點,一般情況下都要利用數形結合、雙曲線的定義、焦點三角形、直角三角形等相關知識解題。

3.離心率取值范圍

例5(2019 年名校聯考原創預測卷)已知點F1、F2分別是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點,在雙曲線的右支上存在一點P,使|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等比數列,則該雙曲線離心率的取值范圍是( )。

解題思路：根據|PF2|,|PF1|,|F1F2|

成等比數列,得到 |PF1|2=|PF2|·|F1F2|。點P在雙曲線的右支上,依據雙曲線定義得到|PF1|-|PF2|=2a,因此可以用a,c表示|PF1|或|PF2|,最后根據雙曲線右支上的點到焦點的距離的取值范圍,即|PF1|≥c+a或|PF2|≥c-a,得到關于e的不等式。

解析：令|PF1|=m,|PF2|=n,則由|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等比數列,得m2=n|F1F2|。又m-n=2a,|F1F2|=2c,所以m2=2(m-2a)c,即m2-2mc+4ac=0,則Δ=4c2-16ac,且m=c+。

根據Δ＞0,得e＞4。由m≥c+a,得≥a,c2-4ac≥a2,e2-4e-1≥0,e≥2+,故選A。

評注：雙曲線離心率取值范圍與雙曲線求值有很多相似的思路,但因為涉及的是范圍,我們需要注意以下幾個方面：(1)根據直線與雙曲線的位置關系,利用判別式；(2)轉化為函數問題；(3)不要忘記雙曲線本身離心率的取值范圍。

類型四 直線與雙曲線位置關系

1.位置關系判斷

例6(1)(2017年廈門期末測試卷)過雙曲線=1的左焦點作傾斜角為直線l,則直線l與雙曲線的交點( )。

A.都在左支上

B.都在右支上

C.不確定

D.一個在左支,一個在右支

(2)求直線l：y=2x和雙曲線x2-y2=4的交點個數。

解題思路：思路一是代數法,將直線方程代入雙曲線方程,利用判別式；思路二是幾何法,將直線斜率與漸近線斜率進行比較,利用數形結合求解。

解析：(1)(代數法)直線l的方程為y=,代入整理可得23x2-8x-160=0。

(2)(幾何法) 雙曲線的漸近線為：x2-y2=0,即y=±x。因為雙曲線焦點在x軸上,且l的斜率大于漸近線斜率,所以直線l與雙曲線相離,交點個數為0。

評注：判斷直線與雙曲線的位置關系,基本思路有兩個：(1)代數法,將直線方程與雙曲線方程進行聯立消元,對所得方程進行探討,特別要注意二次項系數是否為零；(2)利用數形結合思想,借助圖形判斷直線與雙曲線位置關系,一般情況都要與漸近線進行對比。

2.中點弦、弦中點

例7已知雙曲線方程2x2-y2=2。

(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程。

(2)求過點B(1,1)能否作直線,使與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點,且點B是弦Q1Q2的中點。如果存在,求出它的方程；如果不存在,說明理由。

解題思路：(1)設出弦的兩個端點,代入雙曲線方程,作差即可求出弦所在直線的斜率,再利用點斜式求直線方程；(2)設出弦所在的直線方程,代入雙曲線方程,整理出關于x的一元二次方程,再根據判別式判斷方程是否有根,直線是否存在。

解析：(1)設弦的兩端點為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則兩式相減得到2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)。又因為x1+x2=4,y1+y2=2,所以直線斜率,所求直線方程為4x-y-7=0。

(2)假設滿足題設條件的直線l存在,按照(1)的解法可得直線l的方程為y=2x-1。

消去y,得2x2-4x+3=0。方程的判別式Δ=-8＜0,所以方程無實根,直線l與雙曲線無交點,滿足題設條件的直線l不存在。

評注：涉及中點弦的問題,一般用的方法是“韋達定理”和 “作差法”,作差法可以簡化計算,但是用作差法的前提是默認以該點為中點的弦的斜率存在,所以用此方法求解中點弦所在直線方程,必須要進行檢驗,驗證直線是否與雙曲線相交。