《線性代數》中“特征值與特征向量”的教學創新探析

張明

（中國勞動關系學院，北京 100048）

線性代數（Linear Algebra）是數學學科的一個重要分支，它的研究對象是向量、向量空間（或稱線性空間）、線性變換和有限維的線性方程組。但是由于線性代數課程的理論性、抽象性及學生所學知識的有限性，我們發現，同學們很難理解這些名詞，更談不上深層次的應用了，特別是對文科專業的學生而言。其中，特征值與特征向量就是一個大家公認的難點。那么我們換個視角，不從科學的、嚴謹的角度來學習，而是采用“形象的”的方式先掌握住它，然后再從更高、更深的層次來理解、應用，也是一條很不錯的學習路徑與方法。

關于特征值與特征向量，有觀點認為是大數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在化三元二次型到主軸的著作里隱含出現了特征方程概念； 也有學者認為是約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在思考和處理六大行星運動的微分方程組時，首先明確給出特征方程的概念；現在，更多的觀點把它歸功于矩陣論的創立者、第一個把矩陣作為一個獨立的數學概念提出來的數學家凱萊（A.Cayley）。下面我們就先從特征值與特征向量的定義與性質、矩陣的相似對角化和對稱矩陣的正交對角化從“形象的”角度談起。

1 特征值與特征向量的定義與計算

在《線性代數》教材中：設A 為n 階方陣，若存在數λ 和n 為非零向量α≠0，使Aα=λα，則稱λ 是方陣A的特征值，α 是方陣A 的屬于特征值λ 的特征向量；矩陣λE-A 稱為方陣A 的特征矩陣；|λE-A|是λ 的n 次多項式，稱為方陣A 的特征多項式；|λE-A|=0 稱為方陣A 的特征方程。比如，對于方陣而言，對于顯然有Aα=λα，所以5 為A 有一個特征值，為A 的屬于特征值5 的特征向量。

通過觀察，可以發現特征方程|λE-A|=0 的解即為方陣A 的特征值λ0，此處我們還發現，由于|λE-A|=0是λ 的n 次多項式，從而特征方程|λE-A|=0 有個n 根（包括重根），也就是說n 階方陣A 有n 個特征根，而相應的特征向量α 為方程組（λ0E-A）x=0 的非零解。此處可以這樣理解（以下僅是借助于老舊社會的一些名詞，沒有任何崇尚或推廣封建余孽思想的含義于其中，其目的是為了不用專業術語來解釋相關理論）：

方陣可以理解為封建社會的富人，他們一般都是肚圓腸肥，身高幾乎等于圓乎乎肚子的直徑，也就是個好方的富人，我們稱之為方陣； 而富人們一般兒孫很多，n 階富人A 就有了n 個兒子，也就是n 階方陣A 有n 個特征根；富人的兒子們總會娶妻納妾，大兒子λ1的妻就是方程組（λ1E-A）x=0 的基礎解系，妾就是方程組（λ1E-A）x=0 的所有解（基礎解系的線性組合，也就是屬于特征值λ1的所有特征向量）。

總結，n 階方陣A 有n 個特征根，也就是n 階富人有n 個兒子，由于其財大氣粗，每個兒子妻妾成群，方陣A 有屬于不同特征根的特征向量就是相應方程組（λ0E-A）x=0 的所有解，也就是每個兒子成群的妻妾們。

2 矩陣的相似對角化問題

設A 為n 階方陣，若存在n 階可逆陣P，使P-1AP=Λ 和其中Λ 為對角矩陣，稱Λ 與對角矩陣相似，也稱方陣可以相似對角化。此時，設且P-1AP=Λ，有AP=PΛ，將矩陣P 分塊，得A（α1，α2，···αn）=（α1，α2，···，αn）Λ，從而有Aαi=λαi（i=1，2，···，n）。不難發現，如果存在n 階可逆陣P，使得P-1AP=Λ，那么對角矩陣就是矩陣A 的特征值，而可逆矩陣P，就是每一個特征值相應特征向量按列排所得。

總結，n 階富人想讓兒媳婦們把自己的家A 打掃、收拾得井井有條、干干凈凈于是他發動兒媳婦們α1，α2，···αn把家里里外外都認真的打掃了一遍（α1，α2，···αn）TA（α1，α2，···αn），于是，這個家就井井有條，兒子們也就規規矩矩的了，而這恰好是方陣為相似對角化的過程與計算。

此處還有一個問題，是隨隨便便一位富人就可以做到這件事情的嗎？答案當然是否定的，所以教材上有這樣的定理或者結論：

定理1：n 階矩陣A 和對角陣相似當且僅當A 有n個線性無關的特征向量。

那換個說法，富人的n 個兒媳婦彼此間互不影響的情況下，才能夠順順利利的把家打掃的一塵不染，干干凈凈。畢竟，萬一有兩個兒媳婦是親戚，串通好偷奸耍滑，這家就沒法打掃了嘛！

定理2：如果A 有n 個不同的特征值，則A 和對角陣相似。因為，矩陣A 的屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。（證明略）

此時，富人家的兒子們性格迥異完全不同，都一心想著把家來打掃，妻子們必然也會去把家收拾干凈、利索的。

3 對稱矩陣的正交對角化

設A 為n 階對稱矩陣，若存在n 階正交矩陣Q，使QTAQ=Λ,其中Λ 為對角矩陣，稱對稱矩陣A 可以正交對角化。此時正交矩陣的Q 特點是QQT=E，即QT=Q-1，根據相似對角化的過程，設對稱矩A 陣的特征值λ1，λ2，···，λn，相應的特征向量為α1，α2···，αn，運用施密特正交化方法，將向量組α1，α2，···αn 正交化得β1，β2，···，βn，再將其單位化得ε1，ε2，···，εn，令Q=（ε1，ε2，···，εn）顯然有QQT=E，且即。

總結：n 階對稱矩陣A，也就是工工整整的富人想讓知書達理、美麗大方的兒媳婦們把自己的家打掃、收拾的很整潔 但兒媳們的受教育程度參差不齊，于是富人先讓兒媳婦們α1，α2，···，αn 參加培訓，培訓學習之后就各個美麗大方、知書達理、精通琴棋書畫，ε1，ε2，···，εn，此時

家就被打掃得很整潔，而這正好又是對稱矩陣A正交對角化的過程的體現。

4 結語

以上內容屬于從生活實例的角度來看、解釋嚴謹的數學知識，其目的僅是為了學生更容易接受、理解抽象、晦澀的數學知識，不涉及任何的歧視及封建思想的宣揚。

畢竟《線性代數》的基本理論、基本知識高度抽象，又具有嚴密的邏輯性，再由于學生學習、接觸的知識面，單純地從數學或者專業的知識角度去完全理解、掌握所有的知識點是非常困難的，并且在這個過程中，會有一些學生選擇放棄，這是我們所不愿意看到的，所以嘗試著從非專業、非科學的角度來解釋、講解晦澀的知識。這僅是一種嘗試，失敗與成功還是要看其效果。