對2019年高考全國Ⅱ卷21題(2)問的解法探析

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解析幾何在高中數學中有十分重要的地位，無論是在高考題還是競賽題中都有很大的比重，尤其是圓錐曲線題每年高考必考。其題型多，變化大，計算量大，區分度較高，導致很多學生在考試中失分較多。它充分考查了學生的邏輯推理、數學運算等核心素養。筆者最近做完2019年全國Ⅱ卷理科的21題，發現該題無論是計算量還是思維量對學生都有很高的要求，相較于前幾年的全國Ⅱ卷高考解析幾何題難度有了很大的提高，所以對其第(2)問的解法進行了研究探析，以期開拓視野。

題目已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C。

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線。

(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G。(i)證明：△PQG是直角三角形；(ii)求△PQG面積的最大值。

解：(1)

(2)(i)方法1：設P(x1，y1)，G(x2，y2)， 則Q(-x1，-y1)，E(-x1，0)。設過PQ的直線方程為y=kx，則P(x1，kx1)，所 以，則過GE的直線方程為由消去y得故x2，-x1為方程的兩根，則所以y2=所以G點的坐標為所 以kPG=即kPQ·kPG=-1，所以PQ⊥PG，則△PQG為直角三角形。

圖1

評注：接近官方解答，通過設過原點的直線y=kx，將P，Q，G三點的坐標用關于k和x1的式子表示出來，這里筆者沒有將x1也用k表示，因為會加大計算量，而x1最終會約掉。然后將PQ，PG的斜率用關于k的式子表示，利用斜率之積為-1可得出結論。此法符合學生思維，但是在計算坐標時容易出錯。

方法2：設過Q(x1，y1)，G(x2，y2)的直線方程為y=kx+m，則P(-x1，-y1)。由直線與x軸的交點為E，所以，即聯立消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，由韋達定理知，

評注：此法是筆者第一次看到此題后最先想到的方法，因為在平時的復習備考中會遇到“過圓錐曲線上一已知點做兩條互相垂直的直線與曲線交于兩點，求這確定兩點的直線過定點”的問題。所以很自然地想到設過Q，G的直線與橢圓聯立，然后得出韋達定理。要證明垂直，可以利用向量找出關于x1，x2的表達式，進而將韋達定理代入得到關于k和m的關系式但是通分后發現其分子無法合并為0。這樣又不得不再去想辦法尋找關于k和m的關系，最終由代回橢圓方程，找到關系式m2+8m2k2-4k=0，這恰好就是目標式子的分子。此法計算量和思維量更大，考場上估計也有同學會使用這種方法，最終陷入了死胡同里而無法得分。所以，慣性思維有時會影響解題!

方法 3：設P(x1，y1)，G(x2，y2)，則Q(-x1，-y1)，E(-x1，0)，由P，G在橢圓上，則有兩式相減可得，化簡整理得，即又因為kGQ=kEQ=，所以，即得kPQkPG=-1，所以PQ⊥PG，則△PQG為直角三角形。

評注：此法在考場上應用為最佳，計算量和思維量都較前兩種方法小，但是同學們可能不一定能想到，因為同學們受慣性思維的影響，大多會去設直線與曲線聯立，利用韋達定理等常規操作。較少會想到利用我們熟知的“點差法”，設而不求，整體運算。同時三角形PQG有一條邊過原點，也滿足我們所熟知的“橢圓第三定義”，該定義在教材中以例題的形式呈現。可見，同學們在高三的備考復習中對教材的把握是很關鍵的，畢竟高考的命題源于教材而高于教材。

(ii)略。