多角度處理一道電聚焦問題

涂德新

(江西師范大學附屬中學，江西 南昌 330046)

1 問題引入[1]

圖1

2 穩定時的速度

設初速度與入射處直徑垂直的帶電粒子剛好勻速圓周運動時的線速度為v0,由電場力充當向心力

3 動力學法求周期

(1)

選擇以O點為極點且隨電荷運動的轉動參考系來分析,電荷受到離心慣性力的作用

電荷在運動的過程中角動量守恒

mv0Rcosβ=mvθ(R+x).

消去vθ可得

注意到β?1(cosβ≈1) 以及x?R上式可以改寫為

(2)

于是電荷在轉動參考系中徑向受到的合力為

F=F慣-F電.

(3)

4 微分方程法求周期

對電荷徑向運動寫出牛頓第二定律

(4)

電荷角動量守恒

(5)

電場力

(6)

由(4)-(6)式可得

由于x?R,上式可以改寫為

注意到L=mv0Rcosβ在β?1 時L=mv0R.于是上式可以改寫為

(7)

5 能量法求周期

電荷在運動的過程中能量(動能和電勢能的總和)守恒,與出發時的能量相等．

(8)

電荷在運動的過程中角動量守恒

L=mvθ(R+x).

(9)

由(8)(9)式可得

由于x?R,可以將上式改寫為

β?1則角動量L=mv0Rcosβ=mv0R,于是上式可以改寫為

這是簡諧運動的能量方程,故周期

6 有效勢能法求周期

可以把離心勢能和電勢能之和叫有效勢能V′=Vc+V.代入有

(10)

再求r=R處時有效勢能的二階導數

可見電荷在r=R處時是穩定平衡狀態．

將有效勢能在r=R附近按泰勒級數展開

將(10)式代入可以求得

于是在r=R附近的運動是簡諧運動,其周期

7 求電聚焦位置

電荷沿角向幾乎是勻速圓周運動,當電荷再次回到圓周軌道上時,時間為半個簡諧運動的周期,可求聚焦的位置角度

8 后記

文中用4種方法處理了這個電聚焦問題:方法1是在轉動參考系中研究電荷在徑向的受力,發現徑向恢復力與位移成正比且方向相反,這是簡諧運動的動力學判據;方法2用數學的方法研究了電荷在徑向運動的微分方程．發現電荷在徑向的運動正好是簡諧運動;方法3用能量的方法處理了電荷的徑向運動,結果用能量判據表明電荷徑向是簡諧運動;方法4用有效勢能的方法發現電荷在圓周的軌道上是穩定平衡,并且求出了徑向振動的周期．發現粒子束可以準確聚焦,從而實現了這個問題的多角度處理.