多角度處理一道電聚焦問(wèn)題

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué)，江西 南昌 330046)

1 問(wèn)題引入[1]

圖1

2 穩(wěn)定時(shí)的速度

設(shè)初速度與入射處直徑垂直的帶電粒子剛好勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度為v0,由電場(chǎng)力充當(dāng)向心力

3 動(dòng)力學(xué)法求周期

(1)

選擇以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)且隨電荷運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系來(lái)分析,電荷受到離心慣性力的作用

電荷在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中角動(dòng)量守恒

mv0Rcosβ=mvθ(R+x).

消去vθ可得

注意到β?1(cosβ≈1) 以及x?R上式可以改寫(xiě)為

(2)

于是電荷在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中徑向受到的合力為

F=F慣-F電.

(3)

4 微分方程法求周期

對(duì)電荷徑向運(yùn)動(dòng)寫(xiě)出牛頓第二定律

(4)

電荷角動(dòng)量守恒

(5)

電場(chǎng)力

(6)

由(4)-(6)式可得

由于x?R,上式可以改寫(xiě)為

注意到L=mv0Rcosβ在β?1 時(shí)L=mv0R.于是上式可以改寫(xiě)為

(7)

5 能量法求周期

電荷在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中能量(動(dòng)能和電勢(shì)能的總和)守恒,與出發(fā)時(shí)的能量相等．

(8)

電荷在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中角動(dòng)量守恒

L=mvθ(R+x).

(9)

由(8)(9)式可得

由于x?R,可以將上式改寫(xiě)為

β?1則角動(dòng)量L=mv0Rcosβ=mv0R,于是上式可以改寫(xiě)為

這是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量方程,故周期

6 有效勢(shì)能法求周期

可以把離心勢(shì)能和電勢(shì)能之和叫有效勢(shì)能V′=Vc+V.代入有

(10)

再求r=R處時(shí)有效勢(shì)能的二階導(dǎo)數(shù)

可見(jiàn)電荷在r=R處時(shí)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)．

將有效勢(shì)能在r=R附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

將(10)式代入可以求得

于是在r=R附近的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其周期

7 求電聚焦位置

電荷沿角向幾乎是勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)電荷再次回到圓周軌道上時(shí),時(shí)間為半個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期,可求聚焦的位置角度

8 后記

文中用4種方法處理了這個(gè)電聚焦問(wèn)題:方法1是在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中研究電荷在徑向的受力,發(fā)現(xiàn)徑向恢復(fù)力與位移成正比且方向相反,這是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)判據(jù);方法2用數(shù)學(xué)的方法研究了電荷在徑向運(yùn)動(dòng)的微分方程．發(fā)現(xiàn)電荷在徑向的運(yùn)動(dòng)正好是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);方法3用能量的方法處理了電荷的徑向運(yùn)動(dòng),結(jié)果用能量判據(jù)表明電荷徑向是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);方法4用有效勢(shì)能的方法發(fā)現(xiàn)電荷在圓周的軌道上是穩(wěn)定平衡,并且求出了徑向振動(dòng)的周期．發(fā)現(xiàn)粒子束可以準(zhǔn)確聚焦,從而實(shí)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題的多角度處理.