等效轉換 舉重若輕
——例談一類靜力學試題的巧解

羅春焱 傅 禮

(重慶市綦江區三江中學,重慶 401431)

通常處理輕繩、輕桿、球連接體靜力學平衡問題都是應用相似三角形知識來解決的．在新一輪高三物理復習中,筆者用等效方法,借助杠桿平衡條件等知識進行分析,取得了良好的教學效果.下面列舉幾例與大家分享.

圖1

例1.用等長的絲線把兩個帶電小球掛在同一點O上,小球a的質量為ma,小球b的質量為mb,ma

(A)α>β. (B)α=β.

(C)α<β. (D) 無法確定α與β的大小.

圖2

解析:對a、b兩小球進行受力分析知,aO、Ob是兩拉直的絲線,我們可以把aOb整體視為一根可繞O轉動的硬棒．即aOb就是以O為支點的杠桿，等效圖如圖2所示.設O到a、b兩球連線的距離為d,線長為L.由于兩球之間的庫侖斥力大小相等、方向相反且力臂d相同,對杠桿的轉動無力矩貢獻．

由杠桿平衡條件,有magLsinα=mbgLsinβ．

點評:學生見到此題后,大多數用隔離法分別對a、b進行受力分析,然后用相似三角形建立方程加以解決,顯得非常繁瑣．利用等效轉換,借助杠桿平衡條件求解則輕松自如．

圖3

例2.如圖3所示,在圓弧形凹槽里放兩個大小相同的光滑金屬球O1、O2,它們的質量分別為m1、m2,O點是圓弧槽的球心,靜止時,O1O連線與豎直線夾角為α,O2O連線與豎直線夾角為β．試證明:

解析:如果我們將O1OO2連線整體虛擬成一根可繞O點轉動的硬棒,則這個平衡系統可以用等效杠桿O1OO2來替代．如圖4所示,假設O1、O2兩球與凹槽的接觸點分別為C、D,連接CO、DO.

圖4

分別對O1、O2兩球進行受力分析知:C、D兩點受到凹槽對球的支持力必指向球心O1、O2以及凹槽中心O．故C、O1、A、O必在同一直線上;D、O2、B、O也在同一直線上(A、B分別是CO、DO連線跟球O1和球O2的交點).設球O1對O2的作用力為F12,球O2對O1的作用力為F21,球O1、O2半徑為r,O到O1O2的連線的距離為d,凹槽半徑為R．由牛頓第三定律知:F12=F21.由于兩球之間的作用力大小相等、方向相反且力臂d相同,對杠桿的轉動無力矩貢獻．

以O為支點,由杠桿平衡條件,得

m1g(R-r)sinα=m2g(R-r)sinβ.

點評:本題若用相似三角形知識證明,比較復雜,改用以上方法,更簡潔．

圖5

(A) 45°. (B) 30°. (C) 22.5°. (D) 15°.

解析: 對a、b兩球進行受力分析,半球面對a、b兩球的支持力指向球心O．因此,若將a、b兩球用細線與懸點O連接并懸于O點,移開半球面后,則整個系統仍在原空間位置保持平衡．我們可將aOb虛擬成一根硬棒(等效杠桿),支點為O.

圖6

由杠桿平衡條件,得

magRcos(45°+θ)=mbgRcos(45°-θ).

點評:本題是2018年四川課標卷第21題,既是一道難題,更是一道好題．應用上述解法可為考生節約有限的考試時間,緩解考生的緊張情緒．

圖7

例4.輕桿兩端固定兩小球a和b,其質量分別為4m和3m,繞過光滑的小定滑輪連接．已知連接a、b兩球的繩長為L,當AO、OB之間的夾角φ=120°時(O為小定滑輪跟繩的接觸點),整個系統處于如圖7所示的位置平衡．

試求: (1) 繩aO、Ob的長度;

(2) 繩子張力的大小;

(3) 桿上彈力的大小．

圖8

解析: 設aO、Ob的長度分別為x、y,與豎直方向的夾角分別為α、β; 小滑輪對繩上O點向上的支持力為F,繩子張力T,桿對球的作用力大小為N,O點到桿的距離為d．如圖8所示,則有

x+y=L.

(1)

對點O進行受力分析,由正交分解法易得α=β(過程略).因為α+β=φ=120°，所以α=β=60°.

將拉直的細繩aOb虛擬成等效杠桿,O為支點．由于桿對兩球的作用力大小相等方向相反且力臂d相同,對杠桿的轉動無力矩貢獻．

由杠桿平衡條件,有magxsinα=mbgysinβ.故

4x=3y.

(2)

又假設取消小滑輪,用彈簧秤拉住繩上O點,系統仍處于原空間位置平衡,則彈簧秤的讀數一定等于力F的大小．而此時彈簧秤所稱的重量就是整個系統重力的大小,故有

F=(ma+mb)g=7mg.

(3)

因力F與兩繩0a、Ob的張力T的夾角均為120°,由互為120°角的三力作用使O點靜止的結論,3個力的大小必然相等．于是有

T=F=7mg.

(4)

圖9

按照力的平行四邊形定則,將a球的重力Ga分解為G1和G2,如圖9所示,a球靜止．則有

G1=N,G2=T=7mg.

在△aG1Ga中,由余弦定理,有

G22=Ga2+G12-2GaG1cosα.

(5)

(6)

以上(4)、(6)兩式就是(2)、(3)問的答案．

點評:本題是我校2019年3月份高三診斷檢測(理綜卷)第24題．從考試統計情況看:大多學生由于第(1)問用相似三角形知識求解,花費了較多時間,以致造成第(2)、(3)問沒有時間作答;部分優秀學生雖然能得到第(2)、(3)問的結果,卻不知道用等效方法進行替換和用互成120°角的三力作用使O點靜止的結論,解題步驟冗長,走了不少彎路．