一種新型滑模控制算法在撓性多體衛星姿態控制中的應用

李信棟，鄒 奎，茍興宇,2

(1.北京控制工程研究所,北京 100190; 2. 空間智能控制技術重點實驗室,北京 100190)

0 引 言

隨著航天技術發展，衛星任務要求不斷提高，需要多體衛星本體和附件同時進行高精度姿態控制。以中繼衛星為例，就要求星本體在保持姿態穩定的同時附件進行高精度的姿態機動來跟蹤目標星。衛星本體與附件同時機動的復合控制技術是航天控制領域的重要發展方向，文獻[1-3]已對多體衛星的建模和控制問題作了初步探討，其中撓性天線振動與中心剛體運動耦合將嚴重影響衛星姿態控制精度。由于具有快速的全局收斂特性、模型降階特性、易實現性、對外部干擾的魯棒性以及對系統參數和建模誤差的不敏感性等一系列優勢[4-5]，滑模控制技術得到了廣泛研究與應用，取得豐碩成果。當前研究熱點之一是針對傳統的終端滑模控制存在控制輸出趨于無窮問題，通過改進終端滑模面設計，研究非奇異Terminal滑模控制器方法[6-8]；此外，高階滑模控制方法作為新的研究方向得到迅速發展，如超扭曲滑模算法[9]、自適應參數超扭曲算法[10]和基于Lyapunov函數的超扭曲滑模算法[11]。這些算法主旨思想是將不連續的切換項隱藏在切換律的導數中，從而嘗試解決有限時間收斂和減少抖振等問題，并取得了一定效果。

非奇異Terminal滑模控制技術在剛體衛星姿態控制方面的應用取得了許多成果[12-15]。文獻[12-15]都在控制器設計中考慮了存在外部擾動和模型不確定性的情形，在避免奇異問題的同時，最終實現滑模面上的有限時間收斂；不同之處在于文獻[12]通過構造擾動觀測器對擾動進行估計，設計了基于干擾觀測器的非奇異終端滑模控制器；文獻[13]重點解決控制力矩飽和幅值問題；文獻[14]通過自適應方法對控制器增益進行了估計，使得控制器在保持有限時間收斂的同時，具有更快的收斂速度；文獻[15]在滑模控制基礎上設計魯棒控制器，從而確保姿態跟蹤精度。針對模型更加復雜的撓性衛星和多體衛星姿態控制問題，眾多文獻同樣進行了相關研究[16-19]。文獻[16]將滑模控制技術與模糊理論相結合，針對柔性衛星設計姿態控制器，實現三軸姿態的漸近穩定。文獻[17]設計控制器使得撓性天線精確跟蹤期望運動的同時保持星體穩定，并且有效地抑制彈性附件的振動，但是沒有解決滑模控制帶來的抖振問題。文獻[18]研究了大角度快速機動情況下剛柔耦合衛星的姿態控制問題，分別設計利用柔性信息的全狀態反饋控制器和僅利用角度和角速度信息的動態輸出反饋控制器，均實現了有限時間姿態控制。文獻[19]針對衛星姿態機動設計了快速非奇異Terminal滑模控制器，并通過設計加權齊次擴展狀態觀測器(Weighted homogeneous extended state observer，WHESO)來估計所有外部干擾，解決干擾上界未知時的控制問題。

與上述方法不同，本文提出一種新型滑模控制設計方法，此方法將針對單輸入單輸出(SISO)系統的滑模控制技術[20]推廣到多輸入多輸出(MIMO)非線性系統，但是考慮到奇異問題，文中將采用新的非奇異快速終端滑模面。新設計的控制器中包含一個遞歸學習結構，它由最近一拍的控制信號和修正項組成。而且修正項的更新采用Lyapunov函數一階導數的估計值，此值可以連續調節閉環系統使其實現漸近收斂至最終穩定的目標。遞歸學習結構可以確保閉環系統軌跡在較短時間內到達滑模面，且滑模變量不會穿越滑模面產生控制律切換，因此，所設計新型滑模控制器可以完全避免傳統滑模控制算法中的抖振問題。此外，控制器只需要控制輸入矩陣信息而不需受控系統和未知參數的其他先驗信息，這將使得算法具有較強魯棒性。當閉環系統到達滑模面后，閉環軌跡將保持在滑模面并收斂到零。

本文研究撓性多體衛星動力學系統，考察衛星和天線僅在軌道平面內運動的特殊情形，系統模型簡化地考慮俯仰姿態運動；并假設附件指向角做小角度機動。針對得到的多輸入多輸出系統的控制問題，結合系統模型本身的特性，將提出的新型遞歸學習滑模控制技術應用到撓性多體衛星系統的復合控制問題。文中所設計控制律是連續的，可以較好地抑制抖振現象，而且在確保閉環系統能夠較快時間收斂的同時具有良好魯棒性，最終實現對整個系統的穩定控制。

1 系統動力學建模及問題描述

1.1 撓性多體衛星動力學模型

下面將以1X-2Y轉序為例，利用各坐標系之間的關系導出標量動力學方程。在平臺姿態可以線性化、平臺與附件機動角速度均不大的前提下，進一步將控制對象簡化為俯仰平面問題，相應標量格式的動力學方程[1-2]為

圖1 平臺+天線的兩剛體構型Fig.1 Two-rigid-body system with platformand appendages

(1)

式中：

Brbi=Ia，yyψbi+macssinβφbi。

Iby和Iay分別為航天器平臺與天線繞各自俯仰軸的轉動慣量，θ為航天器的俯仰姿態角，β為天線繞Y軸的轉動角，xra,cc,cs為系統幾何參數所決定的常系數，ma為天線質量，qi為天線模態坐標，Bri為天線支撐臂的第i階轉動耦合系數，φbi和ψbi分別為第i階撓性位移變形和轉角變形振型函數在天線支撐臂末端的值；ξi和Ωi分別為天線支撐臂第i階阻尼系數和固有頻率，Mcy為繞航天器Y軸的俯仰姿態控制力矩，Mβ為β轉角控制力矩。

若考慮天線驅動組件(Gimbal driver assembly,GDA)作為天線驅動執行機構，可得天線驅動力矩Mβ為[2]

(2)

其中，k為等效彈簧剛度，Dp為等效彈簧阻尼系數，βf為天線指令輸入轉角。此外，考慮系統存在非線性輸入擾動，同時為后續控制器設計方便，將式(1)所示系統模型重新整理為如下形式

(4)

1.2 控制器目標

(5)

其中,Λ=diag(Λ1,Λ2)和Δ=diag(Δ1,Δ2)是正定常數矩陣，γ和κ是常數，且滿足γ>κ，2>κ>1，sigm(x):=|x|msgn(x)，sgn(·)為符號函數。

那么，撓性多體衛星姿態控制問題即為針對滿足假設1的系統(4)，設計控制器u(t)使得

(6)

注1.明顯地，如果能夠設計控制器u(t)使得如式(5)所示的滑模變量在較短時間內收斂到零，那么系統輸出e(t)就能夠在滑模面S(t)=0上以指數形式收斂到零。

2 新型滑模控制器設計

下面對滑模變量S(t)求關于時間t的導數，并將動力學方程(4)代入，可得

B(u+d))=F(t)+B0u(t)

(7)

其中，

(8)

設計新型滑模控制器如下：

u(t)=u(t-τ)-Δu(t)

(9)

其中修正項部分Δu(t)為

(10)

ST(t)Γ(F(t)+B0u(t))=

ST(t)Γ(S(t)-S(t)+F(t)+B0u(t))=

ST(t)ΓS(t)+ST(t)ΓF0(t)+ST(t)ΓB0u(t)

(11)

其中，Γ是對稱正定矩陣，F0(t)=F(t)-S(t)。

(12)

可知，若選擇足夠小的時間常數τ，那么存在正數M>>1和較小的正常數λ1，當Φ(φ(t),u(t-τ))和Φ(φ(t-τ),u(t-τ))都不為零時，使下面不等式成立

(13)

定義估計誤差

(14)

選擇滿足如下不等式且都為正數的控制器參數η1,λ和λ1

(15)

λ>η1λ1

(16)

注2.由于時間常數τ可以選足夠小，因此，可以做如下合理假設:

注3.結合式(15)，可知當Φ(φ(t),u(t-τ))和Φ(φ(t-τ),u(t-τ))都不為零時，式(13)可變為

(17)

不等式(17)可被稱為Lipschitz-like條件，此條件指出當時間常數τ選的足夠小時，Lyapunov函數梯度的當前值與其上一幀值的差值是非常小的。Lipschitz-like條件使得設計的滑模控制器不需要未知系統參數和不確定動力學的上下界信息，此外，還能確保閉環系統在較短時間內收斂到零。

3 穩定性分析

定理1.考查狀態方程如式(3)所示的一類MIMO非線性系統，當輸入如式(9)、式(10)所示控制器u(t)時，系統狀態誤差e(t)漸近收斂于零。

證.

對前面已定義Lyapunov候選函數V(t)求關于時間t的導數，并將式(9)、式(10)所示控制輸入代入方程，有

ST(t)ΓS(t)+ST(t)ΓF0(t)+ST(t)ΓB0u(t-τ)-

(18)

ST(t)ΓB0u(t-τ))+(ST(t-τ)ΓS(t-τ)+ST(t-τ)ΓF0(t-τ)+ST(t)ΓB0u(t-τ))=

Φ(φ(t-τ),u(t-τ))+Φ(φ(t-τ),u(t-τ))=

(19)

根據式(17)所示Lipschitz-like條件可知

(20)

根據上面分析可得

(21)

(22)

而注意到

(23)

將不等式(23)應用到不等式(22)，有

(24)

(25)

當

(26)

此時，式(19)可重新整理為

(27)

(28)

那么，在t=t1+τ時刻，式(19)可重寫為：

(29)

(30)

注意到

(31)

(32)

因此，根據不等式(31)、(32)，式(30)可變為

(33)

即

(34)

基于上述式(18)～(34)的系統穩定性分析，可以得出結論，文中設計的滑模控制器(9)能夠確保閉環軌跡可在有限時間內到達滑模面S(t)=0，且系統狀態誤差e(t)在滑模面上漸近收斂于零。

4 仿真結果與分析

針對撓性多體衛星本體俯仰軸姿態運動和天線指向角運動同時跟蹤時的多輸入多輸出控制系統，利用文中提出的基于Lyapunov函數的改進型滑模控制器(改進型L-SMC)進行仿真分析，以校驗本文所設計控制器的有效性，并分別與改進前的基于Lyapunov函數滑模控制器(L-SMC)和文獻[18]中設計的非奇異快速終端滑模狀態反饋控制器(NFTSMC)進行對比。

控制對象模型參數取Iay=0.438 kg·m2,Iby=3453 kg·m2,xra=-0.0056 m,cc=-1.94 m,cs=-0.22 m,ma=8 kg,天線驅動機構剛度k=9.5 Nm/rad,等效阻尼系數Dp=0.95。考慮天線的前兩階模態，其兩階模態頻率為[Ω1,Ω2]=[0.913,3.86]，相應阻尼系數為[ξ1,ξ2]=[0.018,0.02]，天線對衛星姿態轉動耦合系數Br1=0.5,Br2=0.65，天線支撐臂在安裝點的振型系數φb1=-0.1,φb2=-0.065,ψb1=-0.08,ψb2=0.125。

基于式(9)、式(10)所設計的新型滑模控制器，借助MATLAB仿真工具，采用Runge-Kutta方法實現閉環非線性微分方程的求解。選擇仿真參數Λ=diag(8.07,2.32)，Δ=diag(37.8, 2.24)，γ=1.1，κ=1.0002,Γ=diag(1.2,1.2)，時間常數τ=0.01 s，η1=2.28×10-3,β1=6.98×10-3,η2=8.13×10-4，滿足不等式(16)的標量λ被設置為λ=3η1λ1=4.7743×10-5，采樣周期ΔT=0.01 s。

針對文獻[18]所用方法的仿真結果如圖2～5所示。

圖2 俯仰角變化曲線Fig.2 Time responses of pitch angle

圖3 天線轉角變化曲線Fig.3 Time responses of antenna angle

圖4 控制輸入Mcy變化曲線Fig.4 Time responses of control input Mcy

圖5 控制輸入βf變化曲線Fig.5 Time responses of control input βf

改進前和改進后的L-SMC控制器仿真結果如圖6～9所示。

圖8 控制輸入Mcy變化曲線Fig.8 Time responses of control input Mcy

分析圖2～圖9的仿真結果，可知文獻[18]的俯仰角收斂速度最慢，這是由于文獻[18]提供的俯仰軸控制力矩Mcy(見圖4)較小，而俯仰軸轉動慣量較大，導致其俯仰角收斂相對較慢。對于天線轉角，圖3的收斂速度最快，這是因為文獻[18]提供的天線控制輸入βf(見圖5)較大。分析圖6可知，改進后的L-SMC控制器相比改進前能夠極大地減小俯仰角的超調量，并且明顯提高收斂速度。

對比圖4和圖8所示三種控制器分別產生的俯仰軸控制力矩輸入Mcy，可知只有文獻[18]所設計控制輸入有明顯的抖振現象(見圖4)，而改進后的L-SMC控制器相比改進前在保證控制效果的基礎上控制輸入幅值有顯著減小。對比圖5和圖9所示三種控制器分別產生的天線轉角控制輸入βf，同樣地，可看出只有文獻[18]有明顯的抖振現象(見圖5)，而改進后的L-SMC控制器相比改進前控制輸入幅值也有明顯減小。

圖9 控制輸入βf變化曲線Fig.9 Time responses of control input βf

綜合三種不同控制器的仿真分析結果，可以看出本文所提出的基于Lyapunov函數的改進型滑模控制器(改進型L-SMC)不僅能夠完全消除傳統滑模控制常見的抖振現象，而且相比改進前算法，可以在減小控制輸入幅值的基礎上確保較好的控制效果。

5 結 論

本文設計一種新型基于Lyapunov函數終端滑模控制器應用于撓性多體衛星復合控制，所設計控制律能夠確保閉環軌跡在較短時間到達滑模面并在滑模面上收斂到零；而且該控制律是連續變化的，完全消除了滑模控制技術特有的抖振現象，這在仿真結果中得到校驗。此外，該控制器僅需要控制輸入矩陣B(t)的信息，而無需知道其它未知參數和不確定系統的上下界信息，同時在控制器設計過程中考慮了外部干擾，使其具有良好的魯棒性，而仿真結果亦顯示出新型滑模控制器具有較好控制效果。綜上所述，所設計控制器具有良好的工程實用價值。下一步的工作可以嘗試解決控制輸入矩陣B(t)信息未知時的控制器設計，使得該控制方法具備更廣闊的應用前景。