超聲速彈丸立靶彈著點(diǎn)定位模型研究

王玉龍 李宏凱 盧小汐 劉艷紅

(中國華陰兵器試驗(yàn)中心 華陰 714200)

0 引言

常規(guī)武器彈丸立靶彈著點(diǎn)坐標(biāo)是衡量火炮武器系統(tǒng)性能和評估武器射擊精度的重要參數(shù)，直接影響武器射表編擬及鑒定[1]。在直瞄類及高射火炮試驗(yàn)中一般都需要進(jìn)行彈著點(diǎn)坐標(biāo)的測試，在工程應(yīng)用中的測試方法有光學(xué)測試法和聲學(xué)測試法[2-4]。光學(xué)測試法對于小、暗、弱、快目標(biāo)的測量效果不佳；聲學(xué)測試法設(shè)備結(jié)構(gòu)簡單，使用方便，成本低，能夠彌補(bǔ)光學(xué)測試法的不足。

聲學(xué)測試法利用超聲速彈丸在飛行過程中產(chǎn)生激波，激波前后壓力差變化觸發(fā)傳聲器，并產(chǎn)生時(shí)延來進(jìn)行定位。聲學(xué)靶能夠測試單發(fā)彈丸彈著點(diǎn)坐標(biāo)，也能測試連發(fā)彈著點(diǎn)坐標(biāo)，并且能夠識別彈序。國內(nèi)外對聲學(xué)靶進(jìn)行了大量研究[5-9]。目前，在工程應(yīng)用中廣泛使用的是直線聲學(xué)靶[10-12]，其缺點(diǎn)是在與直線垂直的方向上誤差較大，影響直線聲學(xué)靶的實(shí)際應(yīng)用。傳感器布陣對彈著點(diǎn)精度測試的影響較大，而文獻(xiàn)[13]提出的水平雙三角陣和帶水平傾角雙三角陣聲學(xué)靶在實(shí)際的工程應(yīng)用安裝中，要求每個(gè)傳感器位置都精確校準(zhǔn)，否則難以達(dá)到理論分析精度，導(dǎo)致其在實(shí)際測試應(yīng)用中存在一定的困難。為此，本文提出了雙圓環(huán)陣列，在每個(gè)圓環(huán)上排列若干傳聲器，其中有多個(gè)冗余傳感器用于提高定位精度，同時(shí)相應(yīng)的設(shè)備架設(shè)簡單，易于在靶場中應(yīng)用。每個(gè)圓環(huán)陣的孔徑相對靶幅較小，并根據(jù)激波傳播速度逐漸遞減的規(guī)律，對每個(gè)圓環(huán)陣上的傳聲器分別引入一個(gè)視速度，建立了雙視速度模型。仿真分析了雙視速度模型對彈著點(diǎn)坐標(biāo)測試精度的影響，帶來的模型誤差優(yōu)于3 mm，對于工程應(yīng)用而言可以忽略。試驗(yàn)結(jié)果表明，雙視速度模型明顯優(yōu)于交會模型和基本模型。

1 聲學(xué)靶定位的交會模型與基本模型

對于采用雙圓環(huán)布陣的聲學(xué)靶，如圖1所示，在每個(gè)圓環(huán)上均勻布設(shè)若干個(gè)聲傳感器。可以采用交會的方法進(jìn)行定位。

交會模型的基本原理是：超聲速彈丸激波依次觸發(fā)傳感器，根據(jù)傳感器坐標(biāo)和傳感器測量的時(shí)延采用插值或擬合方法得到彈丸著靶點(diǎn)相對于每個(gè)圓環(huán)的角度，然后采用前方交會法計(jì)算著靶坐標(biāo)。交會計(jì)算公式如下：

其中，(xp,yp)是彈著點(diǎn)坐標(biāo)，(xA,yA)和(xB,yB)分別是兩個(gè)陣中心的坐標(biāo)，A和B分別是兩個(gè)測量的角度。

圖1 雙圓環(huán)形傳感器陣列Fig.1 A double-circular ring microphone array

聲學(xué)立靶定位的基本模型，是在靶平面內(nèi)觀察時(shí)，超聲速彈丸激波以著靶點(diǎn)為圓心，成圓環(huán)形向外傳播，如圖2所示。激波在靶平面內(nèi)傳播的速度稱為視速度。

圖2 激波在靶平面內(nèi)的傳播示意圖Fig.2 Schematic diagram of the propagation of shock waves in the target plane

聲學(xué)立靶定位的基本模型是假設(shè)視速度為勻速傳播，從而建立定位方程組如下[5]：

式(2)中：(xi,yi),i=1,2,···,n為傳感器坐標(biāo)；ti,i=1,2,···,n為激波到達(dá)各個(gè)傳感器的相對時(shí)間(即時(shí)延或時(shí)差)；vx為風(fēng)在x軸的分量；t0為激波傳播至首先觸發(fā)傳感器的時(shí)間；v0為視速度；(x,y)為著靶坐標(biāo)。

方程組(2)中的未知參量為x,y,v0,t0。當(dāng)n≥4時(shí)方程組(2)有解。當(dāng)n=4時(shí)，方程組(2)是非線性方程組；當(dāng)n＞4時(shí)，方程組(2)是超定非線性方程組(矛盾方程組)。求解方程組(2)即得x,y,v0,t0。

2 雙視速度模型

圖3給出了靶場實(shí)測不同口徑彈丸激波的視速度與傳播距離的關(guān)系。

由圖3可知，視速度隨著傳播距離的增加逐漸減小，并趨于定值。根據(jù)基本模型和傳聲器采用雙圓環(huán)布陣的特點(diǎn)，將兩個(gè)傳聲器陣等效為兩個(gè)“點(diǎn)”，從而對每個(gè)傳聲器陣分別引入視速度vl0,vr0，則得到定位方程組如下：

式(3)中：(xli,yli),i=1,2,···,12為左陣傳感器坐標(biāo)；tli,i=1,2,···,12為激波到達(dá)左陣各個(gè)傳感器的相對時(shí)間(即時(shí)延或時(shí)差)；(xri,yri),i=1,2,···,12為右陣傳感器坐標(biāo)；tri,i=1,2,···,12為激波到達(dá)右陣各個(gè)傳感器的相對時(shí)間(即時(shí)延或時(shí)差)；vx為風(fēng)在x方向的分量；tl0為激波傳播至左陣中首先觸發(fā)傳感器的時(shí)間；tr0為激波傳播至右陣中首先觸發(fā)傳感器的時(shí)間；vl0為激波相對于左陣的視速度；vr0為激波相對于右陣的視速度。

圖3 不同彈丸的視速度與距離的關(guān)系Fig.3 Relationship between apparent velocity and distance of different projectiles

本文將引入不同視速度的定位模型稱為雙視速度模型。方程組(3)中的未知參量為x,y,vl0,vr0,tl0,tr0。當(dāng)n≥6時(shí)方程組(3)有解。當(dāng)n=6時(shí)，方程組(3)是非線性方程組；當(dāng)n＞6時(shí)，方程組(3)是超定非線性方程組(矛盾方程組)。求解方程組(3)即得x,y,vl0,vr0,tl0,tr0。

交會模型主要是將激波波陣面近似看成平面波，由此在靶面內(nèi)的激波傳播近似成一條直線，然后根據(jù)波陣面掃過傳感器的時(shí)間差，進(jìn)行定向再定位。然而實(shí)際上彈丸的激波波陣面類似于圓錐，其在靶面內(nèi)傳播近似成圓形。那么只有當(dāng)聲源到傳感器陣列的距離與傳感器陣列的孔徑相比很大時(shí)，帶來的誤差才能足夠小。但是在立靶彈著點(diǎn)測試中，聲源點(diǎn)距離傳感器陣列的距離一般在10 m以內(nèi)，因此交會模型并不能符合實(shí)際。基本模型考慮了激波波陣面在靶面?zhèn)鞑閳A形的傳播特性，但基本模型中假設(shè)激波波陣面是勻速傳播的，這與實(shí)際測量的激波波陣面?zhèn)鞑ニ俣纫?guī)律不符。雙視速度模型既考慮了激波波陣面的圓形傳播規(guī)律，也考慮了傳播速度隨著傳播距離的增加逐漸減小的規(guī)律。

3 模型解算方法

采用最小二乘法對聲學(xué)靶定位的雙視速度模型進(jìn)行求解，下面推導(dǎo)具體的迭代公式。記

設(shè)f:S?R5→Rn,n=24，其中，f=(f1,f2,···,f12,g1,g2,···,g12)T。求解雙視速度模型(3)等價(jià)于求解如下非線性最小二乘問題：

式(7)中，

是Jacobi矩陣，

記b=-f(x0)，A=df(x0)T，X=x-x0，則：

進(jìn)而有，x1=x0+(ATA)-1ATb。

一般的，最小二乘迭代公式如下：

4 仿真分析

4.1 視速度傳播函數(shù)

下面以某型彈丸為例進(jìn)行分析。根據(jù)彈丸激波視速度傳播曲線進(jìn)行擬合，得到激波傳播距離關(guān)于視速度的函數(shù)如下：

進(jìn)而，可得激波傳播距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)如下：

根據(jù)式(11)，已知著靶點(diǎn)到傳感器的距離后即可得到對應(yīng)的時(shí)間。

下面，分別分析基本模型和雙視速度模型的精度，計(jì)算時(shí)取傳感器的坐標(biāo)精度為1 mm，時(shí)延精度為5 μs。

4.2 均勻分布著靶點(diǎn)時(shí)的誤差

如圖4所示，在10 m×10 m的靶幅內(nèi)均勻布置121個(gè)節(jié)點(diǎn)，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處計(jì)算1000次后計(jì)算均方根作為該節(jié)點(diǎn)的誤差。

基本模型和雙視速度模型的水平誤差曲面圖如圖5所示。

圖4 均勻分布彈著點(diǎn)Fig.4 Evenly distributed impact points

圖5 兩種模型的水平誤差曲面圖Fig.5 Horizontal error surface map of two models

基本模型和雙視速度模型的高低誤差曲面圖如圖6所示。

由圖5和圖6可知，基本模型的水平最大誤差為4.2 cm，高低最大誤差為1.9 cm；雙視速度模型的水平最大誤差為3.0 mm，高低最大誤差為0.3 mm。顯然基本模型引入的模型誤差太大，而對于工程應(yīng)用而言，雙視速度模型可以認(rèn)為沒有模型誤差。采用雙視速度模型明顯提高了邊界處的精度。

圖6 兩種模型的高低誤差曲面圖Fig.6 Height error surface maps of the two models

4.3 隨機(jī)分布著靶點(diǎn)時(shí)的誤差

如圖7所示，在10 m×10 m的靶幅內(nèi)隨機(jī)模擬產(chǎn)生1000個(gè)著靶點(diǎn)。

基本模型和雙視速度模型的誤差曲線如圖8所示，其中的誤差是指水平誤差絕對值與高低誤差絕對值的之和。

圖7 隨機(jī)分布彈著點(diǎn)Fig.7 Random distribution impact points

由圖8可知，基本模型的最大誤差為4.2 cm；雙視速度模型的最大誤差為1.5 mm。對于實(shí)際工程應(yīng)用需求，與均勻分布著靶點(diǎn)類似，基本模型引入的模型誤差太大，而雙視速度模型可以認(rèn)為沒有模型誤差。

圖8 兩種模型的誤差曲線Fig.8 Error curves for the two models

5 試驗(yàn)結(jié)果與分析

通過試驗(yàn)比較幾種模型的精度，分別進(jìn)行了單發(fā)彈丸和連發(fā)彈丸的立靶密集度試驗(yàn)。試驗(yàn)時(shí)采用木板靶測量結(jié)果作為真值，分別采用交會模型、基本模型和雙視速度模型進(jìn)行解算。靶面大小為10 m×10 m，彈丸隨機(jī)著靶，試驗(yàn)現(xiàn)場溫度為15.6°～25.3°，風(fēng)速為2 m/s～6 m/s。

5.1 某型彈丸試驗(yàn)

5.1.1 單發(fā)結(jié)果

共計(jì)17發(fā)彈丸，圖9和圖10是采用不同模型計(jì)算時(shí)的水平誤差曲線和高低誤差曲線。

由圖9和圖10可知，精度結(jié)果如下：雙視速度模型水平3.3 cm，高低1.2 cm；基本模型水平8.9 cm，高低2.0 cm；交會模型水平22.2 cm，高低3.1 cm。可以看出，交會模型的精度最低，基本模型的精度優(yōu)于交會模型，雙視速度模型的精度最高。

圖9 某型航彈單發(fā)不同模型的水平誤差曲線Fig.9 Horizontal error curve of different model of a certain type of missile in a single shot

圖10 某型航彈單發(fā)不同模型的高低誤差曲線Fig.10 Height error curve of different model of a certain type of missile in a single shot

5.1.2 連發(fā)結(jié)果

共計(jì)44發(fā)，圖11和圖12是采用不同模型計(jì)算時(shí)的水平誤差曲線和高低誤差曲線。

圖11 某型航彈連發(fā)不同模型的水平誤差曲線Fig.11 Horizontal error curve of different model of a certain type of missile in continues shot

由圖11和圖12可知，精度結(jié)果如下：雙視速度模型水平4.9 cm，高低3.9 cm；基本模型水平9.0 cm，高低3.9 cm；交會模型水平22.5 cm，高低6.3 cm。同樣可以看出，交會模型的精度最低，基本模型的精度優(yōu)于交會模型，雙視速度模型的精度最高。

圖12 某型航彈連發(fā)不同模型的高低誤差曲線Fig.12 Height error curve of different model of a certain type of missile in continues shot

5.2 某型殺爆彈試驗(yàn)

對某型殺爆彈射擊試驗(yàn)，下面給出采用雙視速度模型的計(jì)算結(jié)果。圖13和圖14是水平誤差曲線和高低誤差曲線。

由圖13和圖14可知，精度結(jié)果如下：水平3.8 cm，高低4.2 cm，滿足工程應(yīng)用測試要求。

圖13 某型殺爆彈水平誤差曲線Fig.13 Horizontal error curve of a certain type of bomb

圖14 某型殺爆彈高低誤差曲線Fig.14 Hight error curve of a certain type of bomb

5.3 仿真分析與實(shí)測結(jié)果分析

通過仿真分析與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，實(shí)際測量的誤差比仿真分析的誤差大。這主要因?yàn)樵趯?shí)際的靶場試驗(yàn)應(yīng)用中，測試環(huán)境惡劣，彈丸難以確保垂直入射至靶面，以及彈丸的著靶姿態(tài)存在隨機(jī)性等，所以導(dǎo)致實(shí)際測量的著靶坐標(biāo)精度低于仿真計(jì)算值。

6 結(jié)論

本文針對超聲速彈丸立靶彈著點(diǎn)測試問題，根據(jù)彈丸的超聲速飛行中激波傳播速度變化規(guī)律，建立了傳聲器采用雙圓環(huán)布陣方案，進(jìn)而建立了雙視速度模型，并用最小二乘法求解該模型確定彈丸著靶坐標(biāo)。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，雙視速度模型明顯優(yōu)于交會模型與基本模型，得到的精度滿足工程應(yīng)用要求。