有黏條件氣泡聲散射特性和衰減譜數值研究?

杜 娜 蘇明旭

(上海理工大學能源與動力工程學院 上海 200093)

0 引言

多相流中的顆粒粒度和濃度的測量問題廣泛應用于工業生產、環保工程、醫學研究等方面。氣泡的聲波散射特性和粒徑表征也一直受到學者們的高度關注。例如，Leighton等[1]通過實驗研究了單個氣泡的頻率及聲壓特性；Wu等[2]采用多對不同頻率探頭分別延伸頻率范圍，將其拓展至多分散氣泡測量；蘭慶等[3]將理論與實驗結合研究了微泡型超聲造影劑對聲傳播衰減的影響。相較于光散射和圖像等方法，聲學法對于濃度較高條件下氣泡特性研究具有明顯的優勢。

在聲學法氣泡散射理論方面，Minnaert[4]發現了球形氣泡的共振散射現象并給出了忽略氣泡表面張力和介質的黏滯阻力影響時氣泡共振頻率公式；Azzi等[5]研究了單個氣泡的聲散射特性，并推導了散射截面的計算公式；Pauzin等[6]利用有限元分析軟件計算出水中微米級氣泡的共振散射現象。

不過，上述學者的理論模型中沒有將黏滯阻力因素考慮在內，也沒有推演到多氣泡衰減問題。在對多相流中的氣泡顆粒濃度及粒度測量中，需要對介質及顆粒的物理性質有較全面的考慮，其中介質的黏滯阻力對氣泡的聲散射特性影響不可忽略。故本文首先從理論上分析平面聲波入射條件下水中單個球形氣泡的聲散射及吸收特性，充分考慮介質的黏性對聲波衰減的影響；進一步拓展至多氣泡體系的聲衰減預測，分析影響多氣泡體系聲衰減的因素，通過理論模型的研究為聲衰減法氣泡粒度甄別和表征提供理論依據。

1 氣泡散射理論模型

單氣泡聲散射模型的建立，需要著重考慮聲波作用下氣泡對聲波的散射及吸收特性，散射截面σscatt、吸收截面σabs通常由多階散射常量級數求和給出，而消聲截面σext則直接由前二者之和給出[7]：

為便于計算及理論分析，本文采用了無量綱的量——散射系數Qscatt，其表達式為Qscatt=σscatt/πa2。類似定義消聲系數及吸收系數(a為氣泡半徑，l為諧波階數，k為聲傳播波數)。散射函數Sl則由邊界壓力項、速度項及溫度場條件給出[7]：

其中，ρ為介質密度分別為l階第一類貝塞爾函數和漢克爾函數的導數。βl為包含壓力、速度及黏度項在內的系數，計算中尤需注意復函數計算中的數據溢出問題[8]。

對于入射聲強為I0的平面聲波，在距離球坐標系原點足夠遠處(kr?1)的點(r,θ)處的聲散射強度I表示為[9]

其中，Pl、Pm分別為l、m階勒讓德級數，θ為散射角，上角標?表示共軛復數。

對于體積濃度Cv(如氣泡在氣-水兩相體系中所占體積百分比)的多氣泡兩相體系中，可以進一步結合Beer-Lambert定律[10]計算聲衰減系數α，經推導后由式(6)給出，

此外，本文將采用Minnaert給出氣泡共振頻率經典公式[4]，用于共振頻率的驗證：

式(7)中，P表示靜壓；γ為氣體比熱容比，在絕熱條件下取γ=1.4；ρ即為氣泡周圍的介質密度。

2 結果和討論

為研究水中氣泡聲學特性，表1給出了數值計算算例中用到氣液物性參數，溫度為20°C(溫度影響介質及氣泡的物性參數)。根據第1節介紹的計算方法在MATLAB環境下編寫程序，建立氣泡的聲散射計算模型。

表1 空氣、水的物性參數(20℃)Table1 Parameters of the medium and particle used in the numerical calculation

2.1 單氣泡聲散射特性

由前述及，氣泡散射是由無數次諧波的貢獻組成，數值上也隨諧波階數增加逐漸收斂。為確定單氣泡聲散射隨諧波階數l的變化，以無因次尺寸參量ka=5為例，設置不同諧波階數調試程序。圖1給出具有不同諧波階數的單氣泡散射強度分布，可以看出不同階諧波對聲散射的貢獻度，當諧波階數依次遞增時，散射旁瓣數表現出先增加后減小的趨勢，散射強度分布逐步穩定并表現為較強的前向散射(與選取的ka值有關)。當諧波階數增加到5時，結果已趨于穩定，至階數為8～10時基本重合，為兼顧計算準確性及效率，后文中按l=10計算。

圖1 單氣泡散射強度分布隨諧波階數的變化Fig.1 Scattering intensity distributions with different orders l

進一步探究在有黏條件下單氣泡的聲散射特性，討論氣泡散射系數及吸收系數隨粒徑的分布規律及不同靜壓力及頻率下消聲系數的變化趨勢。圖2為聲波頻率f=5 MHz，氣泡半徑范圍為0.2～50 μm，在不同的靜壓力(0.1 MPa、0.6 MPa、1.5 MPa)下，散射系數及吸收系數隨氣泡半徑的變化。可以看出，在共振區，吸收系數的數值明顯大于散射系數，原因在于共振引起了聲能的劇烈耗散。在非共振區如氣泡粒徑較大時，吸收系數的量級與散射系數相比很小，表明黏性阻尼項的影響減小，而聲波的彈性散射效應占了主導地位。

圖2 散射系數及吸收系數隨氣泡半徑變化Fig.2 Scattering and absorption coefficient as a function of bubble radius a

聲波在介質中傳播時，其與顆粒、連續相介質產生相互作用，從而強度隨著傳播距離的增加而逐漸減弱的現象稱為聲衰減[11-12]。在不考慮聲源本身的特性時，聲波傳播過程中的衰減僅考慮吸收衰減和散射衰減[13-15]，而消聲系數可用于表征由散射和吸收效應引起的聲衰減特性。圖3給出了不同頻率和壓力條件下消聲系數的變化趨勢，可以看出，聲波頻率一定，隨靜壓力的增加，共振區間右移且消聲系數的峰值減小，這表明聲散射和吸收的總效應減弱(結合圖2)，即聲波的衰減減小。在共振區右側，消聲系數數值上呈遞減趨勢。從圖3中還可以看出，靜壓力一定(0.1 MPa)、聲頻率0.5 MHz時消聲系數的峰值較5 MHz時峰值大，這表明此時共振區的衰減效應更明顯。

圖3 不同壓力及頻率下消聲系數隨氣泡半徑變化Fig.3 Extinction coefficient as a function of a

為比較有黏條件與無黏條件下氣泡聲散射特性，圖4給出了單氣泡消聲系數及散射系數隨無因次尺寸參量ka的變化曲線(均按靜壓力為0.1 MPa計算)。從圖4中可以看出，與有黏條件相比，無黏條件下消聲系數表現為共振區更窄同時峰值更大。此外，在ka＜0.1時(共振區)，吸收效應占比較強，散射相對較弱，為散射吸收過渡區。而在ka＞0.1后，消聲系數與散射系數曲線幾乎重合，吸收效應幾乎可以忽略，ka=0.1為區分純散射區與散射吸收過渡區的分界線。

圖4 消聲系數隨無因次尺寸參量ka變化Fig.4 Extinction coefficient as a function of ka

2.2 多氣泡體系聲衰減

將單氣泡的聲散射特性推廣至多氣泡體系聲衰減的預測，并與ECAH模型[16-18]進行對比。ECAH模型首先由Epstein和Carhart提出，之后Allegra和Hawley發展了該模型，模型通過質量、動量和能量守恒定律，結合聲學、熱力學關系式獲得在彈性、各向同性、導熱顆粒和連續相介質中的波動方程，并在球坐標下按照Bessel函數和球諧函數的級數展開求解波動方程，在顆粒與介質界面運用邊界條件，獲得一個6階的線性方程組，求解此方程組即可得到與聲衰減有關的散射系數。如圖5所示，對于氣泡體積濃度Cv=1%，超聲頻率為1 MHz、0.5 MHz及0.1 MHz，將本文氣泡散射模型的計算結果與ECAH模型進行對比，可以發現，在氣泡半徑大于10μm(即對應ka＞0.1時)，兩種模型的計算結果吻合；反之，當ka＜0.1時，即散射吸收過渡區，二者的計算結果存在一定偏差。原因在于ECAH模型建立的對象為液/固體顆粒聲衰減預測，在過渡區對于吸收效應的考慮與本文氣泡散射模型有所偏差。表2給出了不同共振頻率時共振特征半徑的計算結果。可以看出，對于三種不同超聲頻率，ECAH模型計算得到的氣泡共振特征半徑最小，Minnaert經典公式的計算結果最大，本文計算值則介于二者之間。

圖5 聲衰減在不同頻率時隨氣泡半徑的變化Fig.5 Attenuation as a function of bubble radius when frequency changes

表2 不同聲波共振頻率時氣泡半徑計算結果Table2 Value of bubble radius of different resonance frequency

圖6為氣泡半徑a=20μm，氣泡體積濃度Cv=1%時的聲衰減譜，當剪切黏度的數值增加時，共振頻率保持不變，聲衰減的峰值在不斷的減小(20℃水中的剪切黏度的數值為0.001 N·s/m2)，且聲衰減譜逐漸展寬。結合圖4中的分析可知，當無因次尺寸參量ka＞0.1時，剪切黏度對聲衰減譜的影響逐漸減小，故表現為不同黏度時的聲衰減譜曲線趨于一致。

圖6 不同剪切黏度下的聲衰減譜Fig.6 Attenuation as a function of frequency

圖7給出氣泡體積濃度Cv=1%，半徑a分別為30μm、50μm、80μm的聲衰減譜，計算結果在數值及趨勢上與ECAH模型保持一致。可以看出，隨著頻率的增大，或隨著氣泡半徑增加，聲衰減呈減小的趨勢(此時為非共振區)。同時，圖7中還給出了氣泡半徑a=50μm、體積濃度Cv=2%時的聲衰減譜，可以看出，隨著體積濃度增加一倍，聲衰減呈正比例增加。

圖7 聲衰減隨頻率的變化Fig.7 Attenuation as a function of frequency

圖8是聲衰減隨氣泡體積濃度的變化，氣泡半徑a=50μm，頻率f分別為1 MHz、3 MHz、5 MHz。從圖8中可以看出，隨著體積濃度的增大，聲衰減增強，且接近線性變化(適用體積濃度較低)。隨聲波頻率增大，聲衰減呈減小的趨勢，ECAH模型在選取聲頻段和氣泡粒徑范圍內與其完全吻合，不過相比較而言，本文中氣泡散射模型具有物理意義清晰、數值過程簡單、易于拓展的優勢，并能在模型中直觀反映黏性的影響。

圖8 聲衰減隨濃度的變化Fig.8 Attenuation as a function of concentration

3 結論

本文研究了有黏條件下單氣泡的聲散射特性及對多氣泡的聲衰減進行預測，通過理論模型的建立以及計算，得出以下結論：

(1)通過對單氣泡的聲散射特性分析可得隨著諧波階數改變，前向散射增加較為明顯且散射旁瓣數先增加后減小。靜壓力增加時共振區偏移、聲衰減減小；頻率較小時，共振區的聲衰減增強，ka=0.1成為純散射區與過渡區的分界線。

(2)在對多氣泡體系的聲衰減進行預測中，濃度一定時，當ka＞0.1時，氣泡散射模型的計算結果與ECAH模型吻合且剪切黏度影響聲衰減譜共振峰的展寬和幅值。在非共振區，聲衰減隨頻率的增加而減小，隨體積濃度遞增且在本文計算的濃度范圍內呈線性分布。

本文的理論模型為氣泡聲衰減及氣泡粒度表征提供理論依據。同時，本文工作有助于后續將對多氣泡的理論模型進行拓展以適用于更為復雜的混合顆粒兩相流體系。