高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)解法

戚明兵

三角函數(shù)最值問(wèn)題是三角函數(shù)知識(shí)體系中一個(gè)常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)，也是高考的重要內(nèi)容，它不僅與三角函數(shù)變換直接相關(guān)，還和二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)存在緊密關(guān)系。三角函數(shù)最值問(wèn)題中涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，題型靈活多變，解法也非常多樣。為了幫助學(xué)生順利解決三角函數(shù)最值問(wèn)題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生掌握最常見(jiàn)的解法，并幫助學(xué)生構(gòu)造三角函數(shù)解題模型，如此才能提升學(xué)生的解題效率。

一、借助函數(shù)值域，構(gòu)建三角函數(shù)最值模型

值域是三角函數(shù)知識(shí)的一個(gè)重要內(nèi)容。三角函數(shù)sinx、cosx的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-1，1]；函數(shù)tanx、cotx的值域均為R。掌握三角函數(shù)的值域，是解決三角函數(shù)最值問(wèn)題的關(guān)鍵，只有靈活掌握了三角函數(shù)的值域，才能順利求出三角函數(shù)最值。對(duì)于形如y=asinx+b、y=acosx+b的三角函數(shù)最值問(wèn)題，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)函數(shù)值域建立函數(shù)模型，幫助學(xué)生掌握解題的一般規(guī)律，從而更好地提升學(xué)生解題效率。

例如，求三角函數(shù)y=2sinx+1的最值。解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，就是緊抓三角函數(shù)的值域。首先，找出值域。已知任意角的三角函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閇-1，1]。其次，建立不等式。根據(jù)三角函數(shù)值域，得出-1≤sinx≤1。最后，轉(zhuǎn)化式子。將三角函數(shù)值域不等式一步步轉(zhuǎn)化為問(wèn)題模型。因?yàn)?1≤sinx≤1，那么-2≤2sinx≤2，所以可以得出-1≤2sinx+1≤3，所以ymin=-1，ymax=3。化解形如y=asinx+b的三角函數(shù)最值問(wèn)題，最關(guān)鍵的就是思考三角函數(shù)的值域，并通過(guò)“找出值域→建立不等式→轉(zhuǎn)化式子”三個(gè)步驟建立解題模型，實(shí)現(xiàn)順利求解。

在上述案例中，教師根據(jù)三角函數(shù)值域這一知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了形如y=asinx+b的三角函數(shù)最值問(wèn)題解題模型，如此不但優(yōu)化了學(xué)生的解題思路，還幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)了三角函數(shù)性質(zhì)。

二、借助函數(shù)配方，構(gòu)建三角函數(shù)最值模型

配方法是一種常見(jiàn)的解題方式，它是將一個(gè)式子或一個(gè)式子的一部分，通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的一種解題方法。這種解題方法常被用到三角函數(shù)恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是一種有效的解題方式。對(duì)于形如y=asin2x+bsinx+c、y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問(wèn)題，采用配方法是一種便捷的解題方式。

在上述案例中，教師根據(jù)配方法這一常見(jiàn)的函數(shù)解題方法，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)最值問(wèn)題解題模型，如此不但幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了二次函數(shù)的知識(shí)，還引導(dǎo)學(xué)生解決了三角函數(shù)最值問(wèn)題，可謂是一舉兩得。

三、借助分離常數(shù)，構(gòu)建三角函數(shù)最值模型

總而言之，對(duì)于三角函數(shù)最值問(wèn)題，教師不能讓學(xué)生急于動(dòng)筆，而是應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀題目信息，從函數(shù)形式入手，仔細(xì)觀察三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)最值、二次函數(shù)配方法、分式函數(shù)常數(shù)分解法等方法找到解題的關(guān)鍵，從而選擇最優(yōu)的解題方式進(jìn)行問(wèn)題求解。當(dāng)然，三角函數(shù)最值問(wèn)題常見(jiàn)的解法除了上文提到的最值法、配方法和常數(shù)分解法之外，還有反函數(shù)法、函數(shù)表達(dá)式變形法、輔助角法、換元法等不同方法，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題建立解題模型，從而幫助學(xué)生順利解決三角函數(shù)最值問(wèn)題。