圓弧刀廓加工螺旋錐齒輪的全齒面分區修形

2019-12-05 02:57:08陳義忠嚴宏志艾伍軼伊偉彬

制造業自動化 2019年11期

陳義忠，嚴宏志，艾伍軼，鄧辰，伊偉彬

（1.中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410012；2.中南大學機電工程學院，長沙 410012；3.中南大學輕鋁合金學院，長沙 410012）

0 引言

刀具修形是一種高效、簡便的齒面修形方法。常見的刀廓修形有：直線刀廓、拋物線刀廓和圓弧刀廓。圓弧刀廓的刀具在展成齒面時，齒廓方向修形量增大，可有效避免在輪齒根部和頂部處形成的邊緣接觸[1]。但圓弧刀廓在齒根和齒頂處修形會產生失配[2]，導致傳動誤差幅值增大。針對存在的這個問題，需要對圓弧刀廓修形的齒面進行近一步修形優化。

國內外學者對齒面修形做出了許多研究。蘇進展[3,4]提出基于Ease-off的弧齒錐齒輪齒面修形優化方法，沿接觸跡和嚙合線對小輪齒面進行雙向修形，并獲得目標齒面；王會良[5]將齒面劃分為9個區，提出了斜齒輪沿齒長和齒廓方向上的拓撲修行方法，建立了修形齒面；聶少武[6]研究了圓弧刀廓修形對齒面形狀的影響，并得出合理的圓弧刀廓半徑可降低邊緣接觸；STADTFELD[7]設計了4段刀廓新刀具，可提高擺線錐齒輪的嚙合性能；方宗德[8]提出基于齒面曲率修正方法的高階傳動誤差設計，設計出高重合度弧齒錐齒輪，改善了齒輪副的嚙合平穩性；唐進元[9]基于主動設計方法，由局部綜合法求得滿足預設定傳遞誤差曲線且容差性較好的一組小輪加工調整參數。

本文研究了圓弧刀廓加工小輪齒面的全齒面分區修形，主要包括：首先利用圓弧刀廓將小輪齒根、齒頂處劃分為兩個區域，其次基于多段拋物線分區修形將齒面主要工作部分劃分為大端、中間區域和小端；然后根據預設的接觸跡線夾角和分區修形參數，對圓弧刀廓加工后的齒面重新設計，以獲得滿足預設性能的目標齒面。最后反求出一組優化后的小輪機床加工參數，并通過加載接觸分析方法驗證了全齒面分區修形優方法的有效性。

1 雙重螺旋法加工螺旋錐齒輪副建模

1.1 圓弧刀廓齒面數學模型

本文只對雙重螺旋法加工、圓弧刀修形的小輪齒面建模，大輪采用直線刀廓成形法[10]。

如圖1(a)所示，a部分為刀廓的主要切削部分，圓弧半徑為R1；b部分為刀廓展成齒根圓角部分，圓弧半徑為ρ。坐標系σ1'={OO1；i’，j，k}與小輪刀盤固連，Oo1為刀盤中心，坐標軸k為刀盤軸線。M1、M2為小輪工作面、非工作面參考點，S01為沿參考點處切線從齒根到M2點的距離，S1為沿參考點處切線從齒頂到M2點的距離，α1為刀具齒形角，W1為刀頂距，刀盤半徑為rt1（外刀半徑為r1c，內刀半徑為r1d）。圖1(b)、(c)分別為小輪內、外刀產形面示意圖，其中I表示刀傾角，θ1為刀盤相位角。

圖1 小輪圓弧刀廓及其產形面

刀尖半徑可由下式計算：

將a部分的產形面以矢量形式表示為：

式中的雙符號，上面的符號對應外刀（工作面），下面的符號對應內刀（非工作面）。由式(2)可得到產形面的法矢為：

如圖2所示，建立坐標系σ1={O'；i1，j1，k1}，其中，O'是機床中心，i1-j1平面為機床平面同，O1為小輪設計交叉點，Z1為徑向刀位；q1為角向刀位；XB1為床位；X1為軸向輪位；E1為垂直輪位；I為刀傾角，J為刀轉角；δM1為小輪輪坯安裝角。產形輪的軸向與k1軸所在直線的方向相同，故單位矢量以k1=[0 0 1]T表示。

圖2 小輪加工坐標系

將小輪產形面方程位置矢量表示在機床坐標系σ1中：

其中，MO1O'、Mdz、Mdq為中間坐標系變換矩陣[11]；LO1O'、Ldz、Ldq分別對應變換矩陣的三階主子式。

則小輪交叉點O1到機床中心O'的矢量可表示為：

產形面與小輪齒面完全共軛，以小輪設計交叉點為原點，則小輪齒面上任一點的位置矢量可表示為：

1.2 齒輪副三維模型的建立

以1對準雙曲面齒輪副為研究對象，大、小輪基本參數及加工參數如表1、表2所示。將求解所得的大、小輪齒面空間坐標點導入Pro/E中，得到大、小輪齒面。根據設計要求將大、小輪進行安裝，得到螺旋錐齒輪副三維模型，如圖3所示。

表1 齒輪副基本參數

表2 齒輪副加工參數

圖3 齒輪副三維模型

2 全齒面分區修形方法研究

本文提出的全齒面分區修形是將圓弧刀廓修形和主動設計相結合的方法，將整個齒面劃分成五個區，既可有效避免在輪齒根部和頂部處形成的邊緣接觸，又起到對齒面沿齒長方向、齒廓方向和對角方向全方位的預控修形。

圖4為小輪修形區域示意圖，其中①為中間區，利用多段拋物線沿齒面嚙合線修形，通過預控接觸跡線方向、接觸橢圓長半軸長度、傳動誤差對該區域進行齒面拓撲優化；②、③為利用圓弧刀廓分別對小輪齒面的齒根、齒頂進行修形的區域。④、⑤為利用多段拋物線分區修形分別對小輪齒面大端、小端進行修形的區域。

2.1 齒面嚙合性能主動設計

預設大輪傳動誤差曲線和接觸區參數，可求出與大輪完全共軛的小輪齒面。完全共軛齒面[12]相當于分區修形過程中的基準平面，然后在其基礎上修形可以得到滿足預設性能的小輪目標齒面。

如圖5所示，橫坐標φ1為小輪轉角，縱坐標δφ2為大輪傳動誤差，b和b'為齒對間傳動過程中的嚙合轉換點。2π/z1為單個嚙合周期轉角；z1是小輪齒數，δT1為轉換點的傳動誤差。

圖5 預設傳動誤差曲線

傳動誤差曲線可表示為：

接觸區的大小、位置直接影響齒輪副的嚙合性能。如圖6所示，M為齒面參考點，虛線區域為接觸區，接觸跡線與節錐線的夾角用η表示，接觸橢圓長半軸長度用a表示。

圖6 接觸跡線示意圖

2.2 多段拋物線分區主動設計

多段拋物線分區主動設計為沿嚙合線方向上的修形。如圖7所示，以嚙合線所在的直線為x軸，以接觸跡線IJ與嚙合線的交點M為坐標原點，以過M點垂直于嚙合線的直線為y軸，建立oxy坐標系。

圖7 多段拋物線分區修形示意圖

其中ABCD表示完全共軛齒面，A'B'C'D'為修形后的目標齒面。多段拋物線分區將齒面分為三個區域：大端、小端和中間區；在中間區域內（EFGH）沿拋物線Ⅰ進行修形，在小端區域內（ABEH）沿拋物線Ⅱ進行修形，在大端區域內（CDGF）沿拋物線Ⅲ進行修形。在oxy坐標系中，x3表示小端最遠齒面點，x4表示大端最遠齒面點，x1x2表示齒面接觸區橫向長度，d1、d2分別表示小端、大端最大修形量。

沿嚙合線方向的齒面法向修形量可表示為：

其中ζ為彈性變形量，一般取為0.00635mm[13]，k為齒面不同的修形區域，m為修形曲線系數；Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ段修形曲線可根據不同的修形要求，通過預控大端、小端的最大修形量d2、d1，反求出不同的修形系數m值來實現。

另外，要保證修形齒面連續可導，還應該滿足：

3 算例分析

3.1 預設參數

將圓弧刀廓修形的小輪齒面定義為原始組，將全齒面分區修形的小輪齒面定義為優化組，加工參數如表2所示。對原始組齒面進行接觸分析，得到原始組接觸跡夾角。優化組接觸跡線夾角大小和分區修形預設參數如表3、表4所示。

表3 齒面接觸跡夾角η

表4 優化組分區修形參數

在表4中，其中δT1單位為秒（″），其余單位為毫米（mm）。

3.2 全齒面分區修形目標齒面

原始組ease-off圖如圖8和圖9所示，優化組齒面ease-off圖如圖10、圖11所示。

圖8 原始組的齒面（工作面）

圖9 原始組的齒面（非工作面）

圖10 優化組的目標齒面（工作面）

圖11 優化組的目標齒面（非工作面）

3.3 加工參數反求

對比目標齒面與原始組的齒面，可得兩齒面間的法向偏差。而齒面法向偏差與加工參數改變量的關系如下式所示[14]，此方程為超靜定非線性方程組，運用最小二乘法，求得對應的機床加工參數調整量，從而得到最終的機床加工參數。

其中，δφk為加工參數調整量，Skm為機床加工參數對齒面點的敏感系數，δdm為齒面法向偏差。

基于以上所述，可得優化組對應的機床加工參數如表5所示。

表5 優化組機床加工參數

續（表5）

4 有限元加載分析（LTCA）

4.1 重合度分析

重合度是影響齒輪傳動嚙合性能的主要因素，是判斷齒輪傳動連續性及傳遞載荷均勻性的關鍵指標[15]。重合度是指小輪單齒從進入嚙合到退出嚙合所轉過的角度Tc與Tz的比值。因此，齒面重合度可以表示為：

其中，Tz是小輪的嚙合周期，為圖5中小輪從b點到b'點轉過的角度。

在齒輪副動態嚙合過程中，小輪旋轉的角度與小輪齒面瞬時接觸應力所對應的時間是成正比的[16]。T表示某一單齒整個嚙合過程所經歷的時間，T1表示上一單齒從開始嚙合到下一單齒進入嚙合所經歷的時間，故齒面重合度也可以表示為：

基于所求得優化組與已知的原始組齒輪參數建立對應的齒輪副模型，并導入abaqus進行有限元仿真，其中齒輪材料都為16Cr3NiWMoVNbE。設置小輪轉速600r/min，大輪負載扭矩為600Nm，分別對兩組齒輪副進行有限元動態嚙合仿真，得到齒輪副嚙合過程中載荷對接觸力隨時間變化的分配圖，如圖12、圖13所示。

分析原始組第五齒的嚙合過程：圖12中第五齒進入嚙合的時間為3.495s，完全退出嚙合的時間為3.710s，在3.626s時，第六齒開始進入嚙合，可知其重合度為1.64；同理可知，優化組的重合度為1.73，結果如表6所示。