變系數(shù)復(fù)mKdV方程的孤子動力學(xué)模擬

昌霞　雷宇　譚家寧　唐炳

摘 要：本文使用達(dá)布變換求得了包含“增益”或者“損耗”部分的變系數(shù)復(fù)mKdV方程的單孤子和雙孤子解。另外，利用Mathematica軟件，模擬了孤子隨時間演化的動力學(xué)行為。

關(guān)鍵詞：變系數(shù)復(fù)mKdV方程;可積系統(tǒng);孤子動力學(xué)

中圖分類號：O 411文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

復(fù)數(shù)形式的mKdV方程最早在等離子體物理學(xué)被發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)如今，這個方程已經(jīng)廣泛應(yīng)用于等離子體、分子鏈以及非線性光學(xué)超短脈沖等物理體系的相關(guān)理論問題的研究中。理論上，復(fù)mKdV方程及其實(shí)數(shù)形式都可為可積的非線性方程。通過采用雙線性方法或達(dá)布變換，多數(shù)研究者能夠找到變系數(shù)復(fù)mKdV方程的孤子解、呼吸子解、有理數(shù)解甚至怪波解。[1]本文將主要關(guān)注包含“增益”或“損耗”項(xiàng)的變系數(shù)復(fù)mKDV方程，即qt+f（t）qxxx+6g（t）|q|2q-0.5h（t）q=0，其中h（t）為“增益”或“損耗”系數(shù)。

1 達(dá)布變換和孤子解

本文使用達(dá)布變換[2]并借助Mathematica軟件進(jìn)行符號運(yùn)算來尋找變系數(shù)復(fù)mKdV方程的單孤子解和雙孤子解。若用q=0作為種子解，借助一階和二階達(dá)布變換，分別能夠求得此方程的單孤子解和雙孤子解。

在圖1中，用達(dá)布變換求解得到的單孤子和雙孤子解的具體形式被完整的展示出來。注意到，這些孤子解的形式與其他文獻(xiàn)中變系數(shù)復(fù)mKdV方程不一樣。而且，使用Mathematica軟件進(jìn)行驗(yàn)證的結(jié)果表明求得的孤子解為精確解，即代入原方程能夠保證其成立。

2 孤子動力學(xué)模擬

在這節(jié)中，選擇常數(shù)非線性（即g（t）=1），并設(shè)置色散為周期性的（f（t）=sin（t）），使用符號計(jì)算軟件對單孤子和雙孤子的動力學(xué)演化進(jìn)行模擬。圖2展示了單孤子和雙孤子的三維演化圖。由于h（t）在此參數(shù)限制下為周期函數(shù)，“增益”和“損耗”交互變化，于是孤子的行為也表現(xiàn)出周期性行為。

（a）單孤子

（b）雙孤子

圖2 孤子演化圖

3 結(jié)論

本文使用達(dá)布變換，得到了包含增益”或“損耗”項(xiàng)的變系數(shù)復(fù)mKDV方程孤子和雙孤子的嚴(yán)格解。另外，使用符號計(jì)算軟件模擬了單孤子和雙孤子的動力學(xué)行為。結(jié)果表明：若選擇特定的參數(shù)，孤子的動力學(xué)演化呈現(xiàn)出周期性。

參考文獻(xiàn)：

[1]V.N.Serkina，T.L.Belyaevab，Novel conditions for soliton breathers of the complex modified Korteweg-de Vries equation with variable coefficients[J]，Optik，2018，172：1117-1122.

[2]谷超豪，胡和生，周子翔.孤立子理論中的達(dá)布變換及其幾何應(yīng)用[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2005.

基金項(xiàng)目：國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：201810531014）

作者簡介：昌霞（1998-），女，2016級物理學(xué)專業(yè)本科生，研究方向：可積系統(tǒng);雷宇，2017級物理學(xué)專業(yè)本科生;譚家寧，2016級物理學(xué)專業(yè)本科生;唐炳，博士，副教授，研究方向?yàn)槔碚撐锢怼?/p>