造成數學學習中“懂而不會”現象的五大原因

寧永楠 武瑞雪

【摘 要】 數學學習中“懂而不會”現象嚴重困擾著教師和學生.產生這種現象的五大原因：學生不擅于糾錯反思，沒有養成歸納記錄易錯題、典型題的好習慣;學生沒有形成系統的知識結構; 學生缺乏必要的鞏固訓練;教師知識結構不完整、不系統，掌握的解題方法不全面; 教師課堂上就題講題，缺乏相應的變式訓練.

【關鍵詞】 數學學習;懂而不會;原因

很多學生反饋“上課時能聽懂老師講的，可自己一做就不會;能看懂課本內容，可解題時就沒有思路或者有思路也做不對”.也有好多教師抱怨“此類型題講過、練過，可錯誤率還很高”.

這種“懂而不會”現象在數學學習中頻頻發生，它嚴重困擾著教師和學生.那么，造成這種現象的原因是什么？為什么學生能看懂、聽懂，可一做就不會了呢？筆者認為主要原因有如下幾點.

1 學生不擅于糾錯反思，沒有養成歸納記錄易錯題、典型題的好習慣

羅增儒教授曾經說過：“檢驗解題過程也是提升解題能力、積累解題經驗、鍛煉數學思維的一個重要途徑”.但是，許多學生沒有解后檢驗的習慣，沒有嘗試一題是否有多個解法，一題是否可多變. 特別地，對于錯題，有些學生總是不能及時查找錯因，導致再遇到同類型題時還犯同樣的錯誤. 可以說，養成“錯題必糾正必整理”的習慣是消減“懂而不會”現象最為有效的策略之一.

錯因可能是計算馬虎、審題不細、分類不全、概念不清、性質模糊、轉化不等價、書寫不規范、忽視隱含條件、忽視公式適用條件等等，諸如此類，對于這些原因，學生若能分類整理，建立錯題集，時常翻閱，就能有效規避“懂而不會”現象的發生.

還有很多學生不及時歸納整理典型題，沒有形成文字記錄，當時感覺是掌握了，時間稍久就忘得一干二凈，再遇到這種“眼熟”的題型，就不能順利解答，造成“懂而不會”現象的發生.

2 學生沒有形成系統的知識結構

眾所周知，綜合性再強、難度再大的題目也是由簡單的知識點組合而成的，若學“東”忘“西”，知識結構不完整、不系統，則解題時定會思維受阻，不能徹底解答.所以，不但要認真體會、感悟、理解、掌握每個孤立的知識點，還要將前后知識點連貫起來，形成系統的知識結構，養成學完一節、一章、一本書的內容，都能及時復習、整理，形成知識串，做到“既能見樹木，又能見森林”，確保需要時能“信手拈來”，不能因某個知識點的“模糊不清”而“不會“做題.

案例1 對于兩個定義域相同的函數f（x）和g（x），若存在實數m，n，使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數h（x）是由“基函數f（x），g（x）”生成的.試利用“基函數f（x）=log2（4x+1），g（x）=x”生成一個函數h（x），且同時滿足以下條件：①h（x）是偶函數;②h（x）的最小值為1.求h（x）的解析式.

分析 此題屬于“新定義”型題目，考查一次函數、對數型函數、偶函數、基本不等式、對數的運算性質、函數的最值求法以及函數解析式的求法等，綜合性較強，難度中等. 測試后發現部分考生不會，后經了解得知，主要是這些學生的知識結構不完整、不系統，各知識點處于零散狀態，導致不理解新定義“基函數”的含義，不能充分利用“偶函數”、“最小值”等條件對題目進行等價轉化、建立等量關系，從而導致做不出來.

解 設h（x）=mlog2（4x+1）+nx，則h（-x）=mlog2（4-x+1）-nx.

由h（-x）=h（x），得mlog2（4-x+1）-nx=mlog2（4x+1）+nx，整理得mlog2（4-x+14x+1）=2nx，即mlog24-x=2nx，即-2mx=2nx對任意x恒成立，所以m=-n.

所以h（x）=-nlog2（4x+1）+nx

=-n[log2（4x+1）-x]

=-n[log2（4x+1）-log22x]

=-n（log24x+12x）.

設y=4x+12x，令2x=t（t>0），則y=t2+1t=t+1t≥2.

當且僅當t=1時取到“=”.

所以log2（4x+12x）≥1，又h（x）最小值為1，所以n<0，且n=-1，此時m=1，所以h（x）=log2（4x+1）-x.

3 學生缺乏必要的鞏固訓練

有句話說得好“我聽過了，我就忘了;我看見了，我就記得了;我做過了，我就理解了.”在數學學習中，有的學生錯誤地認為聽懂了、看懂了就一定能做出來，學習時只是聽、看或只進行簡單模仿，而懶于動筆做鞏固訓練，更懶于做限時鞏固訓練.有的學生盲目地自信，做題時“偷工減料”，常常只寫思路或列出主要式子，將計算過程省掉，還誤認為這樣可以節省時間，提高效率.久之，運算能力、基本技能下降，導致獨立做題時，半途而廢、漏洞百出，從而出現“懂而不會”現象.

案例2 已知直線l：y=kx+m與橢圓C：x24+y23=1相交于A，B兩點，且kOA·kOB=-34，求證：△AOB的面積是定值.

分析 本題的解題思路非常清晰，其過程如下：

第一步，將直線方程與橢圓方程聯立y=kx+m，

x24+y23=1，消去y化簡得，

（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=3m2-12k23+4k2.

因為kOA·kOB=y1y2x1x2=-34，所以2m2=3+4k2

①

所以弦長AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（x1-x2）2+（kx1+m-kx2-m）2

=1+k2x1-x2

=1+k2（x1+x2）2-4x1x2

=24（1+k2）3+4k2.

第二步，求出點O到直線l的距離為d=|m|1+k2.

第三步，利用弦AB的長及點到直線距離d，表示出△AOB的面積：S=12AB·d=12×24（1+k2）3+4k2·m1+k2=12×24m23+4k2.

②

第四步，將①代入②，化簡得到面積定值為3.

點評 一般來說，直線與圓錐曲線的綜合問題，解題思路都很清晰，在教師悉心引導、分析下，學生能聽懂或看懂，甚至有的學生還能熟練說出每一個步驟.但是，圓錐曲線類題目往往運算量很大，若平時不動手去演算，考試時是很難有耐心算出最后結果的.在獨立做題時會“斷片”、“卡頓”，最后只能草率了事，造成“懂而不會”現象的發生.

4 教師知識結構不完整、不系統，掌握的解題方法不全面

俗話說得好“打鐵還需自身硬”.若教師不善于鉆研，知識結構不完整，對常見的或好的解題方法不積累、不歸納，則易導致解題教學時，方法選取不當，不能很好地引導、點撥學生，對綜合性稍強的題目就無從下手，或下手方向不對，甚至出現“掛課”的尷尬現象.

做為教師，應積極鉆研，不斷學習、積累、充電，備課要充分，要擅于進行一題多法、一題多變的教學，只有自己昭昭，才能讓學生昭昭.

案例3 （2008年江蘇高考第14題）在△ABC中，AB=2，AC=2BC，則△ABC面積的最大值是

.

解法1 設BC=x，則AC=2x.

根據面積公式得，S△ABC=12AB·BCsinB=12×2x1-cos2B.

①

再根據余弦定理得，cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=4+x2-（2x）24x=4-x24x.

②

將②代入①式得，S△ABC=x1-（4-x24x）2=128-（x2-12）216.

由三角形三邊關系得2x+x>2，

x+2>2x，解得22-2 ? ? 故當x=23時，S△ABC取得最大值22.

解法2 以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），設C點坐標為（x，y），由AC=2BC，得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化簡得到C點軌跡方程為（x-3）2+y2=8（y≠0），設點C到直線AB的距離為d，則S△ABC=12AB·d=d.

所以，要求△ABC面積的最大值，只要求圓（x-3）2+y2=8上的點到直線AB的距離的最大值即可.易知d的最大值就是圓（x-3）2+y2=8的半徑22，所以三角形面積的最大值為22.

點評 此題的題面是三角形問題，根據上面的解題過程，我們不難發現，若按解法一，先得S△ABC=12×2x1-cos2B，再將cosB=4-x24x代入，得S△ABC關于x的函數，再根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，得到x的取值范圍，進而得到面積最大值，但這樣做計算量太大，過程太繁瑣，很容易因計算錯誤而前功盡棄，或因心理懼怕、不耐煩而放棄，但若能根據條件AB=2，AC=2BC聯想到阿波羅尼斯圓，則容易探究出解法二，快速地求出結果.

可見，教師知識結構完整、系統，掌握的解題方法全面，在進行解題教學時，就能高屋建瓴，一題多法，且能指導學生進行優法采擷，這對提高學生的解題能力，消減學生在學習中的“懂而不會”現象將是非常有益的.

5 教師課堂上就題講題，缺乏相應的變式訓練

很多教師在進行解題教學時，往往缺少相應的變式訓練，沒有變換原來題目的條件或結論，編制新的題目，沒有讓學生從“變”中發現“不變”的要素和本質，重在“就題論題”而不是“就題論法”＼[1＼].這是造成“懂而不會”現象的另一個重要原因.

案例4 （2016年徐州一檢第13題）已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），點D是直線AC上的動點，若AD≤2BD恒成立，則t的取值范圍為

.

解 設D（x，y），則AD=x2+（y-1）2，BD=（x-1）2+y2.

若AD≤2BD，則x2+（y-1）2≤2（x-1）2+y2.

化簡得（x-43）2+（y+13）2≥89.

由A（0，1），C（t，0）兩點得直線AC：x+ty-t=0.

由題知，直線AC與圓（x-43）2+（y+13）2=89沒有公共點或有且只有一個公共點，所以（43，-13）到直線AC的距離d=43-13t-tt2+1≥223=r，化簡得t2-4t+1≥0，所以t≥2+3或t≤2-3.

點評 本題綜合性較強，它是在阿波羅尼斯圓的背景下，考查恒成立問題，如果講解時只是就題論題，學生或許能聽懂，但將條件稍做改變，學生可能就不懂、不會或做不對.

在教學時，可引導學生編制如下變式題：

變式 已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），若在直線AC上存在點D，使AD≥2BD成立，則t的取值范圍為

.

解 由上題得（x-43）2+（y+13）2≤89，

由題知直線AC與圓（x-43）2+（y+13）2=89有公共點，所以（43，-13）到直線AC的距離d=43-13t-tt2+1≤223=r.

化簡得t2-4t+1≤0，所以2-3≤t≤2+3.

將原題與變式題放在一起對比講解，則利于學生理解“恒成立”與“能成立”兩類問題的共性和不同，利于消減“懂而不會”現象.

6 結束語

造成數學學習中“懂而不會”現象的原因，絕不止上面所提及的，還有很多，比如從教師角度出發，教師提問后留給學生思考的時間不足;不擅于稚化自己的思維;教學時不擅于暴露師生探究解法的思維過程，特別是學生易錯的思維過程，而總是由教師“直接告知”;讓學生自學、閱讀時，沒有具體的任務要求＼[2＼];板書設計不合理，缺乏條理性、規范性、完整性、示范性，導致學生錯誤“模仿”等.從學生角度出發，學生缺乏主動思考、探究的習慣;心理素質差，因緊張看錯題目或者謄寫錯誤，甚至因緊張、焦慮出現“記憶短路”;做題時心浮氣躁，不能沉著冷靜地分析題目的條件及所求;不擅于利用圖形輔助分析和解題;思維不嚴謹，邏輯性差;沒有認真對待解題的各個環節（理解題目、擬定方案、執行方案、回顧）：審題過快（題意不清，就提筆作答），方案擬定不佳（沒有從不同角度思考，導致所選解法過于繁瑣），不擅于回頭驗證（導致運算頻頻出錯）等等.

學情、教情不同，原因各異，為了更有效地規避“懂而不會”現象的發生，做為數學教師，應予以重視，把數學學習中“懂而不會”現象當作一個課題進行研究.

參考文獻

[1] 徐存新，武瑞雪.淺談高中數學教學中的變式題教學——以消除懂而不會現象為例＼[J＼].中國數學教育，2016（12）.

[2] 武瑞雪，陳瑩，徐存新，管勇.因“教師不會教”致教學低效之現象剖析＼[J＼].中國數學教育，2016（6）.

作者簡介 寧永楠（1984—），女，大學本科，中小學一級教師.