通法求"(A/aⁿ)+(B/bⁿ)"型結構的最小值

金霞 杜文發

一題多解，可以開闊學生思路、發散學生思維，讓學生學會多角度分析和解決問題;能夠促進學生思維的靈活性. 多題一解，能夠加深學生的思維深度，分析問題時學會由表及里，抓住問題的本質，找出問題間內在的聯系，能夠檢驗學生思維的成熟性. 下面我們看一個問題的演繹：

若正數a、b滿足a+b=1，求1a+2b的最小值.

師生能熟練的運用代數換元法、均值換元法、三角換元法、求導數法、柯西不等式、均值不等式（1的妙用）等解決.

下面就用均值不等式（1的妙用）統求“Aan+Bbn” 型結構的最小值.

知識點：

1.均值定理：n個正數的算術平均數不小于它的幾何平均數.

2.二項式定理：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n≥1，n∈N*，r=0，1，2，…n）.

基本問題 若正數a、b滿足a+b=1，求1a+2b的最小值.

解 1a+2b=（1a+2b）（a+b）=3+ba+2ab≥3+22，當且僅當b=2a時等號成立. 所以1a+2b的最小值為3+22=（1+2）2，當且僅當b=2-2，a=2-1時取到.

結論 若正數a、b滿足a+b=1，則Aa+Bb（A>0，B>0）的最小值為（A+B）2，當且僅當Ba2=Ab2時取到.

1 問題展開、歸納總結

例1 若正數a、b滿足a+b=1，求1a2+2b2的最小值.

解 1a2+2b2=（1a2+2b2）（a+b）2=（1a2+2b2）（a2+2ab+b2）=3+2ba+b2a2+2a2b2+4ab=3+（b2a2+4ab）+（2ba+2a2b2）.

b2a2+4ab= b2a2+2ab+2ab≥334. 當且僅當b3=2a3時等號成立.

2ba+2a2b2=ba+ba+2a2b2≥332. 當且僅當b3=2a3時等號成立.

兩式等號同時成立，所以1a2+2b2的最小值為3+334+332=（1+32）3 ，當且僅當b3=2a3時取到.

錯誤做法：1a2+2b2=（1a2+a+a）+（2b2+b+b）-2（a+b）=（1a2+a+a）+（2b2+b+b）-2.

1a2+a+a≥3，當且僅當a=1時等號成立.

2b2+b+b≥332，當且僅當b=32時等號成立.

所以1a2+2b2的最小值為6+332 ，當且僅當a=1，b=32時取到.

此解法的錯誤在于兩個不等式成立的條件不滿足題設a+b=1，也就是說兩個不等式的等號不能同時成立.

結論 若正數a、b滿足a+b=1，則Aa2+Bb2（A>0，B>0）的最小值為A+33A2B+33AB2+B=（3A+3B）3，當且僅當Ba3=Ab3時取到.

例2 若正數a、b滿足a+b=1，求1a3+2b3的最小值.

解 1a3+2b3=（1a3+2b3）（a+b）3

=3+3ba+3b2a2+b3a3+2a3b3+6a2b2+6ab

=3+（b3a3+6ab）+（3b2a2+6a2b2）+（3ba+2a3b3）.

b3a3+6ab=b3a3+2ab+2ab+2ab≥448，當且僅當b4=2a4時等號成立.

3b2a2+6a2b2≥218=62，當且僅當b4=2a4時等號成立.

3ba+2a3b3=ba+ba+ba+2a3b3≥442，當且僅當b4=2a4時等號成立.

上述三式等號同時成立，所以1a3+2b3的最小值為3+448+442+62=（1+42）4 ，當且僅當b4=2a4時取到.

結論 若正數a、b滿足a+b=1，則Aa3+Bb3（A>0，B>0）的最小值為A+44A3B+6AB+44AB3+B=（4A+4B）4，當且僅當Ba4=Ab4時取到.

是否有什么規律？請看例3的解法

例3 若正數a、b滿足a+b=1，求1a4+2b4的最小值.

解 1a4+2b4=（1a4+2b4）（a+b）4=3+4ba+6b2a2+4b3a3+b4a4+2a4b4+8a3b3+12a2b2+8ab

=3+（b4a4+8ab）+（4b3a3+12a2b2）+（6b2a2+8a3b3）+（4ba+2a4b4）.

b4a4+8ab=b4a4+2ab+2ab+2ab+2ab≥5516，當且僅當b5=2a5時等號成立.

4b3a3+12a2b2=2b3a3+2b3a3+4a2b2+4a2b2+4a2b2≥

55256 當且僅當b5=2a5時等號成立.

6b2a2+8a3b3=2b2a2+2b2a2+2b2a2+4a3b3+4a3b3≥

55128，當且僅當b5=2a5時等號成立.

4ba+2a4b4=ba+ba+ba+ba+2a4b4≥552，當且僅當b5=2a5時等號成立.

上述四式等號同時成立，所以1a4+2b4的最小值為3+5516+55256+55128+552 =（1+52）5，當且僅當b5=2a5時取到.

結論 若正數a、b滿足a+b=1，則Aa4+Bb4（A>0，B>0）的最小值為A+55A4B+105A3B2+105A2B3+55AB4+B=（5A+5B）5，當且僅當Ba5=Ab5時取到.

說明 要注意例2與例3在構造基本不等式時的不同之處，構造規律十分明確. 例3不能如下分組構造：

1a4+2b4=（1a4+2b4）（a+b）4=3+4ba+6b2a2+4b3a3+b4a4+2a4b4+8a3b3+12a2b2+8ab

=3+（b4a4+8ab）+（4b3a3+8a3b3）+（6b2a2+12a2b2）+（4ba+2a4b4）.

如果如此構造，四個基本不等式“等號”成立的條件就不完全相同了.

2 再看一例

例4 若正數a、b滿足a+b=1，求1a5+2b5的最小值.

解 1a5+2b5=（1a5+2b5）（a+b）5=（1a5+2b5）（a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5）

=3+5ba+10b2a2+10b3a3+5b4a4+b5a5+2a5b5+10a4b4+20a3b3+20a2b2+10ab

=3+（b5a5+10ab）+（5b4a4+20a2b2）+（10b3a3+20a3b3）+（10b2a2+10a4b4）+（5ba+2a5b5）.

b5a5+10ab =b5a5+2ab+2ab+2ab+2ab+2ab≥

6632，當且僅當b6=2a6時等號成立.

5b4a4+20a2b2 =5（b4a4+2a2b2+2a2b2）≥1534，當且僅當b6=2a6時等號成立.

10b3a3+20a3b3≥202，當且僅當b6=2a6時等號成立.

10b2a2+10a4b4=5b2a2+5b2a2+10a4b4≥1532，當且僅當b6=2a6時等號成立.

5ba+2a5b5=ba+ba+ba+ba+ba+2a5b5≥662，當且僅當b6=2a6時等號成立.

上述五式等號同時成立，所以1a5+2b5的最小值為3+6632+1534+202+1532+662=（1+62）6 ，當且僅當b6=2a6時取到.

現在可以看出分組的規律了.

結論 若正數a、b滿足a+b=1，則Aa5+Bb5（A>0，B>0）的最小值為A+66A5B+156A4B2+206A3B3+155A2B4+66AB5+B=（6A+6B）6，當且僅當Ba6=Ab6時取到.

到此，得到優美的結論：

若正數a、b滿足a+b=1，則Aan+Bbn（A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為（n+1A+n+1B）n+1，當且僅當Ban+1=Abn+1時取到.

證明Aan+Bbn=（Aan+Bbn）（a+b）n

=（Aan+Bbn）（C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…Cr-1nan-r+1br-1+Crnan-rbr+…+Cnnbn）

=A（C0n+C1nba+C2nb2a2+…+Cr-1nbr-1ar-1+Crnbrar+…+Cnnbnan）+B（C0nanbn+C1nan-1bn-1+…+Cr-1nan-r+1bn-r+1+Crnan-rbn-r+…+Cn-1nab+Cnn）

=AC0n+（C1nAba+C0nBanbn）+（C2nAb2a2+C1nBan-1bn-1）+…+（CrnAbrar+Cr-1nBan-r+1bn-r+1）+…+（CnnAbnan+Cn-1nBab）+BCnn.

又CrnAbrar+Cr-1nBan-r+1bn-r+1=Cr-1nr（（n-r+1）Abrar+rBan-r+1bn-r+1）=Cr-1nr（Abrar+Abrar+Abrar+…+Abrarn-r+1項+Ban-r+1bn-r+1+Ban-r+1bn-r+1+…+Ban-r+1bn-r+1r項）≥Cr-1nr（n+1）n+1An-r+1Br=Crn+1n+1An-r+1n+1Br.

當且僅當Abn+1=Ban+1時等號成立（其中n≥1，n∈N*，r=，1，2，…n）.

所以Aan+Bbn≥A+∑nr=1Crn+1n+1An-r+1n+1Br+B=（n+1A+n+1B）n+1，當且僅當Abn+1=Ban+1時等號成立.

所以Aan+Bbn的最小值為（n+1A+n+1B）n+1，當且僅當Ban+1=Abn+1時取到.

此類型題結構更一般形式為：

若正數a、b滿足pa+qb=d，則Aan+Bbn（p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為1dn（pn+1A+qn+1B）n+1，當且僅當Bpan+1=Aqbn+1時取到.

問題深入研究：

若正數a、b滿足Aa+Bb=d，則pan+qbn（A>0，B>0，p>0，q>0，d>0，n≥1，n∈N*）的最小值為何？

通過多題一解，化靜為動，提高學生分析問題、解決問題的能力，滲透類比思想、轉化思想. 多題一解，更好地踐行了劃歸與轉化、類比思想，是學好數學的一個重要手段. 與此同時，對一題多解和多題一解的運用，要注意相互結合，靈活運用，不可只求一技，失之偏頗. 對于學生而言，他們應該更傾向于“多題一解”.