2019年高考全國Ⅱ卷數學試題評析和2020年備考建議

羅文軍 劉娟娟

【摘 要】 2019年高考全國Ⅱ卷數學試題，以《課程標準》、《考試說明》為依據，體現了“立足基礎，穩中有變，注重能力”的設計理念，在堅持對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力和應用意識與創新意識考查的同時，注重對數學思想與方法的考查，旨在考查數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析的數學學科核心素養，凸顯綜合性和應用性，以反映我國社會主義建設的成果和優秀傳統文化的真實情境為載體，貼近生活，聯系實際，在數學教育評價中落實了“立德樹人”的根本任務.

【關鍵詞】 評析;備考;建議;趨勢

2019年高考全國Ⅱ卷數學試題，以《課程標準》、《考試說明》為依據，體現了“立足基礎，穩中有變，注重能力”的設計理念，在堅持對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力和應用意識與創新意識考查的同時，注重對數學思想與方法的考查，旨在考查數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析的數學學科核心素養，凸顯綜合性和應用性，以反映我國社會主義建設的成果和優秀傳統文化的真實情境為載體，貼近生活，聯系實際，在數學教育評價中落實了“立德樹人”的根本任務.

1 試題評析

1.1 大穩定

無論文科還是理科，試卷在整體結構上，設置有12道選擇題、4道填空題、7道解答題，與前兩年保持一致.延續了全國Ⅱ卷數學高考近幾年必考關于集合、復數、平面向量、數學文化、數學應用題型的特色.

（1）對主干知識和基礎知識的考查保持相對穩定.

從上表可以看出今年整套試卷在考點分布上，仍然注重對高中數學主干內容三角函數、立體幾何、解析幾何、概率與統計、數列、函數與導數等知識的考查，分值權重與2018年大體上一致.

無論文理都注重基礎知識與基本能力的考查.理科第1、2、3、5、6、7、11、13、15、17、22、23為基礎題，文科第1、2、3、4、5、7、11、13、15、17、22、23為基礎題.

（2）考查的數學思想和數學方法保持相對穩定.

（3）考查的數學能力和核心素養保持相對穩定.

文科除第4、7題外，理科除第5、7題外，都考查了考生的運算求解能力;文科的第1、4、6、7、8、10、13、16、20題，理科的第1、2、4、5、6、7、12、16、21題都考查了學生的抽象概括能力;文科的第7、8、12、13、16、17、20題，理科的第7、8、11、12、16、17、21題都考查了考生的直觀想象能力;文科的第6、7、15、17、18、20、21、22、23題，理科的第4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15、17、18、19、20、21、22、23題都考查了學生的邏輯推理能力;文科的第4題，理科的第12、18題都考查了考生的數學建模能力;文科的第14、19題，理科的第5、13題都考查了考生的數據分析能力.文科的第5、14、16題，理科的第4、13、16題考查了考生的閱讀理解能力.無論文科和理科，對能力的考查，旨在考查數學學科核心素養.

（4）從源頭來看，出自課本且高于課本的題目數量保持穩定.

如果認真審視2019年高考全國Ⅱ卷數學試題，在課本中能找到它們的“影子”.例如文科的第1、2、3、6、10、11、13、17、18、20、22題第（1）問、23題第（1）問，理科第1、2、3、7、10、14、17、21題第（1）問、22題第（1）問、23題第（1）問，都加工改編自課本中的經典例題或者習題.例如2019年全國Ⅱ卷文科第20題源自人教A版選修11課本第41頁習題2.1A組第6題，2019年全國Ⅱ卷理科第21題源自人教A版選修21第二章第2單元第一節 《橢圓及其標準方程》第41頁例3.這體現了課本是高考命題的策源地，對高中數學教學中要開發運用好數學課本具有很好的導向作用.

1.2 小創新

（1）題目順序和結構的調整.

2019年高考全國Ⅱ卷數學打破常規的地方，在解答題的必考題目順序上有了調整，理科第17題立體幾何，第18題概率與統計，第19題數列，第20題函數與導數，第21題圓錐曲線，而2018年理科第17題數列、第18題概率與統計，第19題圓錐曲線，第20題立體幾何，第21題函數與導數;文科第17題立體幾何、第18題數列、第19題概率與統計，第20題圓錐曲線，第21題函數與導數，2018年文科第17題數列，第18題概率與統計，第19題立體幾何，第20題圓錐曲線，第21題函數與導數.與2018年相比，理科解答題調整了立體幾何、數列、函數與導數、圓錐曲線等題目的順序，文科解答題調整了數列、概率與統計、立體幾何等題目的順序，題目順序的調整體現了今年高考試題破除了近幾年來形成的套路，特別是第17題設置為立體幾何試題，給考生增加了陌生感.無論文科還是理科，填空題第16題首次出現一題兩空的情況.理科第21題圓錐曲線試題第（2）問中又設置了兩問.文理科都沒有考查程序框圖和三視圖，理科沒有考查線性規劃，這體現了高考試題題型的創新性.因為2017年版《普通高中數學課程標準》進行了課程內容調整，程序框圖、三視圖和線性規劃都被刪除了.文理科選做第22題都考查了極坐標系方程和軌跡方程的求解，借助直角坐標系和極坐標系的互化已經很難解決這道試題，因為試題回歸到了對極坐標系本質的考查，難度比往年加大.

（2）減少了文理科同題數量.

在2018年數學高考中，文科的第3、4、6、7、8、12、14、17、18、20、22、23題以及19題的第1問分別和理科的第3、4、5、6、7、11、14、17、18、19、22、23題以及20題的第1問完全相同.在2019年的數學高考中，文科的第7、9、11、12、14、16、17題第（1）問、22、23題分別和理科的第7、8、10、11、13、16、17題的第（1）問、22、23題相同.文理科的同題數量減少，有利于增加理科試卷的難度，因為數學是基礎學科，高考是高校選拔人才的依據，高校對理工類考生的數學要求更高.

（3）加強創新意識和應用意識的考查.

文科第4、5、14、19題，理科第4、5、13、18題，都考查了考生的創新意識和應用意識.文科第4題以“一帶一路”作為試題背景，背景公平，試題新穎，將時政融入了高考試題，考查了數學文化的理性精神價值.理科第13題以我國高鐵列車的發展成果為背景，有利于引導學生關注現實生活和經濟發展.理科第4題結合“嫦娥”四號實現人類歷史首次月球軟著陸的技術突破為素材，以物理學中典型的牛頓運動定律和萬有引力為背景，考查了考生的近似估算能力，貼合物理知識，關注了物理學科和數學學科之間的聯系，反映了我國航天事業取得的巨大成就，在浙江和上海等實行“3+3”新高考模式的省市，選考物理的人數相比較少，高考數學試題在數學知識和物理知識的學科交匯處命題，可以很好地彌補這一不足，便于引起考生重視物理知識，重視數學和物理等基礎學科，可以為我國發明更多創新型科研成果奠定基礎.文理科第16題以我國古代官員獨孤信的印信為背景，獨孤信在我國歷史上以講誠信出名，體現了我國古代數學智慧的傳承與發展，也體現出了誠信是做人的最基本的道德準則，體現出了誠信是中華民族的優良傳統.這道試題可以看成將德育融入了高考數學試題，啟發我們要在高中數學教學中滲透德育教育，獨孤信的印信體現了數學的對稱美，這道試題同時可以看成將美育融入了高考試題，體現了數學文化的美學價值，有利于增強中華民族的文化自信和民族自豪感.理科第18題以我國國球乒乓球運動的11分制10平后的乒乓球比賽結果的預估提出問題，要求考生應用數學分析方法分析和解決體育問題，真正將體育教育融入了高考數學試題，體現了數學的應用價值.

2 備考建議

2.1 時間安排

第一輪復習（2019年8月—2020年2月）;

第二輪復習（2020年3月—2020年4月中旬）;

第三輪復習（2020年4月中旬—2020年5月中旬）.

2.2 第一輪復習注意事項

第一輪復習主要強調對考點知識全面覆蓋基礎上的學科體系構建.《2019年甘肅省高考數學考試說明》明確要求：“突出數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查”，既全面考查，又突出重點，既注重數學本質，又注重內在聯系.在一輪復習中要做到回歸課本，夯實基礎，構建知識網絡，要把握好復習難度.近幾年內高考數學試題遵循“大穩定，小創新”的方針，重視基礎知識和基本技能的考查.回歸課本應貫穿一輪復習的自始至終.因為課本是數學知識的“生長地”，課本是高考復習的“根據地”，回歸課本是高考復習的起點.研課本，就是要看考題與課本的關系，從高考的要求出發，把課本熟化，公式定理能信手拈來，基本題型能“借題發揮”.在回歸課本的基礎上，要著重強化對知識的梳理、優化知識結構、構建知識網絡.在一輪復習中，要注重通性通法，例如破解高考解答題中空間角通法為法向量法，解析幾何中的設而不求法.在一輪復習教學中，“先羅列概念，再對應性的例題選講”型模式的復習課并不少見，但這種課一般不會有好效果.因為“羅列”對優等生來說，不新奇，無刺激，他們不會積極參與;對后進生來說，光憑“羅列”也會不了，記不住，所以也不會有興趣.好的方法是重點概念采取“問題趨動”，在解決問題中獲取概念.

2.3 第二輪復習注意事項

第二輪復習中，主要是強化框架性問題的梳理和專題綜合訓練，提升學生知識遷移、學以致用的能力.

（1）研高考，鎖定復習方向.

研究高考試題的源頭.高考題的兩個重要源頭，源自教材和歷年高考真題.通過分析歷年全國新課標高考真題的變化趨勢，弄清楚哪些知識和方法是必備的，哪些是可以拓展的，哪些是可以整合融匯貫通的，哪些是高頻考點，哪些是次高頻考點，然后編寫二輪復習專題，可以按學科主干知識為體系編寫模塊.由于高考試題注重考查從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡的交匯點處設計試題，因此在二輪復習專題中要設置一些數學知識交匯的題目.

（2）研究學生實際.

二輪復習中，深刻研究學生實際，仍然以中檔題為主，立足中下題，二輪復習期間做多少個專題訓練，每周幾個大專題，幾個小專題，何時做，都要有大致計劃與部署，數量的有效控制和時間安排直接制約二輪復習的效果，要引導學生不斷反思總結.二輪復習專題的編寫把著力點放在高考重點和熱點上、學生問題的盲點、誤點、困惑點上.

（3）在二輪復習中，運用好一題多解和一題多變.

在二輪復習教學中，我們要嘗試對典型題目進行多解探究和變式探究，通過“一題多解”和“一題多變”演繹問題的產生過程，打破思維定勢，提高學生思維的變通性，開拓學生的知識視野，增強學生的綜合思維能力和發展創造思維，同時有助于學生深刻理解知識的系統性、特殊性和廣泛性，提高學生的綜合思維能力和解題能力，提升學生的數學核心素養.

2.4 三輪復習

三輪復習則主要是調整狀態，反思構建，完善應試策略，積淀學科素養.三輪復習中，每周安排兩到三次模擬訓練，規定訓練時間為2小時，模擬題的選取中，要根據學生實際學情，以中難度的題為主，突出高頻考點，各部分知識在卷面中占多少分值要做到心中有數.我們要對每次模擬題訓練后批改點評，引導學生查缺補漏，回歸課本.反思總結，引導學生運用正確方法解題.

2.5 其他注意點

（1）研《考試說明》.要留心考試說明中變化，例如《考試說明》對雙曲線的要求改為了解，那么若有雙曲線考題，也是比較簡單的.要關注教育部考試中心任子朝教授等專家的文章，研究這些高考考試研究文章中所透露出的高考新動向.

（2）在高三復習中，要著力以三角函數，數列，圓錐曲線的復習為載體，訓練學生的運算求解能力.

（3）復習要細化，不能留下盲點，新增內容的考查如火如荼，不能主觀臆斷地認為哪些考哪些不考.

（4）高三復習中要做到：知識理解要深化，例如2019年高考文科和理科第22題，只有深刻理解了極坐標方程的定義、直線和圓的極坐標方程的推導過程才可能做對;解題規律要類化;通性通法要強化;解題思路要優化.

3 2020年命題趨勢預測

2020年全國Ⅱ卷數學試題整體要比2019年全國Ⅱ卷數學試題略難，具體為2020年高考命題客觀題將比2019年難度有所提升，解答題和2019年持平.預計2020年，選擇題中，將有以數學和物理知識交匯為背景旨在考查素養的試題;填空題中會有兩空的試題;解答題目順序將會進一步調整;解答題中會有解三角形試題，數列試題將出現在選擇題或填空題中;文理科小題中都會有一道考查概率或者數列知識的數學文化試題;將有3道以上考查閱讀理解能力的試題;應用題可能會有考查考生創新意識和探究能力的開放性試題;選考第22題坐標系與參數方程試題將考查參數方程的本質.

作者簡介 羅文軍（1986—），男，甘肅秦安人，中學二級教師，本科學歷，主要研究高中數學一題多解和高中數學文化.2015年2月被聘為首批華中師范大學考試研究院特聘研究員，2016年3月加入甘肅省數學教育研究會，2016年9月被陜西師范大學聘為《中學數學教學參考》特約編輯. 發表論文100多篇.有多篇論文被中國人民大學報刊復印資料《高中數學教與學》全文轉載.

劉娟娟（1988—），女，甘肅秦安縣人，發表省級論文4篇，多次獲得國家級和省級論文獎，曾被評為秦安縣園丁獎.